Метод наименьших квадратов и задача самотестирования

Рассмотрим метод наименьших квадратов применительно к задачам двух типов: детерминированной и стохастической с известными вторыми моментами.

Детерминированная задача состоит в выборе вектора хтаким образом, чтобы минимизировать значениев уравнении:

=Ах-у² =х^ТА^ТАх-2у^TАх+у², (4.1)

где А— известная матрица, ау— известный вектор, индексТ обозначает транспонирование матрицы или вектора.

Стохастическая задача наименьших квадратов состоит в выборе детерминированного весового вектора wдля минимизации средней квадратической ошибки:

=E(w^Tz-d)²=w^T_zR_zw-2R^T_dzw+E(d²), (4.2)

где z— случайный вектор;d — случайная величина. Скалярная случайная величинаw^T_zпредставляет собой линейную комбинацию компонентов случайного вектораzи используется как линейная оценка случайной величиныd. Математическое ожидание обозначается символомЕ, через R_zобозначена матрица вторых моментов случайного вектораz:R_z=E_zz^Т. Аналогично векторR_dz определяется какR_dz=E(dz).

В работе [УСБ] показана вычислительная эквивалентность стохастической задачи наименьших квадратов с оценкой вторых моментов и соответствующей детерминированной задачи. Поэтому достаточно для наших целей рассматривать вычислительные методы только для детерминированной задачи наименьших квадратов.

Из формул 4.1 и 4.2 видно, что задача наименьших квадратов в итоге сводится к умножению вектора на вектор, умножению матрицы на вектор, сложению и умножению матриц, транспонированию матриц, нахождению математического ожидания и нахождению нормы вектора. Исходя из результатов, приведенных в этой главе, можно констатировать, что для большинства данных функций существуют программные чекеры и самотестирующиеся/ самокорректирующиеся программные пары. Следовательно, существует принципиальная возможность последовательной, либо параллельной организации работы программных чекеров, самотестирующихся и самокорректирующихся программ для решения задачи наименьших квадратов. В то же время проблемы, связанные с композицией указанных программ в данной работе не рассматриваются.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что основные вычислительные процедуры при решении задач обработки сигналов в реальном масштабе времени могут быть сведены к набору операций над матрицами. Такой набор включает умножение матрицы на вектор, сложение и умножение матриц, обращение матриц, решение систем линейных уравнений, приближенное решение линейных систем по методу наименьших квадратов, вычисление собственных значений, нахождение сингулярного разложение матриц [УСБ]. Поэтому можно говорить о хороших перспективах использования идей самотестирования в системах цифровой обработки сигналов.

177

101