- •1.Теоремы о непрерывных функциях на [a,b]
- •2.Основные теоремы дифференциального исчисления. Т Ферма и Ролля.
- •3.Теоремы Лагранжа и Коши
- •4.Монотонность и экстремумы. Теорема
- •5.Выпуклость и точки перегиба. Теоремы.
- •6.Асимптоты. Теорема о нахождении правой и левой асимптоты.
- •7.Общее исследование функции.
- •8.Комплексные числа. Определение и алгебраическая форма.
- •13. Многочлены и дробно-рациональные функции.
- •14.Разложение правильной дроби в сумму простейших.
- •15.Первообразная. Теорема.
- •16. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •21. Интегрирование простейших дробей.
- •22)Вычеслить: и
- •23) Вычислить :
- •24)Реккурентная формула для
- •25)Интегрирование дробно-рациональных функций
- •31)Определённый интеграл и его свойства(1-6)
- •32)Определённый интеграл и его свойства (7-13)
- •33)Вычисление определённого интеграла формулой Ньютона-Лейбница
- •34)Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле
- •35)Приложения определённого интеграла
- •36)Дифференциальные уравнения .Основные определения.
- •37)Уравнения с разделяющимися переменными
- •38)Однородные дифференциальные уравнения
- •39)Линейные уравнения и метод Бирнулли
- •40)Линейные дифференциальные уравнения.Определения и структура решения
- •41)Решение линейных однородных уравнений
- •42)Решение линейных неоднородных уравнений
1.Теоремы о непрерывных функциях на [a,b]
1.Т. Вейерштрасса
Пусть f(x) задана на интервале [a,b] и непрерывна в [a,b] тогда f(x) ограничена в этом замкнутом интервале.
2.Т. Вейерштрассе
f(x) непрерывна в [a,b] тогда в этом интервале она принимает свое самое большое и малое значения.
Найдется точка х принадлежащая [a,b]
f(x)=inf f(x)-самое малое значение(инфиум)
f(x)=sup f(x)-самое большое значение(супрэмум)
3.Т. Больцано — Коши
f(x) непрерывна на [a,b], и на концах принимает значения разных знаков ,тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b
4.Т.о промежуточных значениях
Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. (А неравно В)Тогда функция f(x) в промежутке [a,b] принимает все промежуточные значения между А и В.
2.Основные теоремы дифференциального исчисления. Т Ферма и Ролля.
1.Т. Ферма
Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.
2.Т. Ролль
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] ,дифференцируема на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(а)= f(b), то найдется хотя бы одна точка с є (a,b), в котором производная f’(x) обращается в нуль, т.е. f’(с)=о
3.Теоремы Лагранжа и Коши
1. Т. Лагранжа
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка с є (a, b), для которой выполняется условие:
2.Т.Коши
Если функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (α;b), причем φ'(х) неравно 0 для хє(а;b), то найдется хотя бы одна точка с є(a;b) такая, что выполняется равенство
4.Монотонность и экстремумы. Теорема
5.Выпуклость и точки перегиба. Теоремы.
Функция называется выпуклой к верху на некотором множестве, если её график лежит ниже касательной.
Точка отделяющая выпуклый участок от вогнутого, называется точкой перегиба.
Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.
6.Асимптоты. Теорема о нахождении правой и левой асимптоты.
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки до кривой.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными(горизонтальные)
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов