21. Формирование топологических уравнений методом узловых потенциалов. Моделирование статического режима.

1. Метод узловых потенциалов.

Как было отмечено ранее, топологические уравнения для электронных схем составляются на основе законов Кирхгофа: ЗТК и ЗНК. В большинстве современных программ схемотехнического моделирования при составлении топологических уравнений для схемы применяется метод узловых потенциалов (УП).

Согласно этому методу предусматривается замена каждой ветви схемы линейным источником тока, который представляет собой параллельно включенные идеальный источник тока и проводимость G = const (рисунок 1, а).

В этом случае уравнение ветви выглядит следующим образом:

I = GU+ I_q (1.1)

Если в ветви присутствует только проводимость, то I_q = 0, а активное сопротивление R = const можно преобразовать в проводимость G = 1/R. Если ветвь содержит идеальный источник тока, то G = 0.

Линейный источник напряжения (рис.1, б) может быть преобразован в линейный источник тока следующим образом:

I = - U_q / R, (1.2)

G = 1 / R. (1.3)

Преобразование идеального источника напряжения, у которого R = 0, в линейный источник тока невозможно (в этих случаях применяют модифицированный метод УП).

Ток I_q и напряжение U_q считаются положительными, если их направления совпадают с направлениями тока и напряжения в ветви.

При анализе методом УП сначала выбирается базовый узел, потенциал которого φ₀ = 0. Этому узлу присваивается номер 0, остальные узлы нумеруются по порядку. Каждое напряжение схемы может быть описано как разность потенциалов. При этом напряжение между узлом x и базовым узлом определяется в виде:

U_x,0 = φ_x - φ₀, (1.4) где φ_x – потенциал узла x.

При φ₀ = 0 узловое напряжение:

U_x,0 = φ_x, (1.4)

Число уравнений n для цепи без идеальных источников напряжения и базового узла равно числу узлов k. Для всех означенных узлов составляются уравнения Кирхгофа для токов, которые решаются относительно неизвестных узловых напряжений. Зная узловые напряжения можно рассчитать напряжение в каждой ветви.

В соответствии с ЗТК исходная система топологических уравнений в базисе узловых потенциалов имеет вид:

I(φ) = 0, (1.5)

где I(φ) – вектор узловых токов.

Вследствие того, что в большинстве случаев для решения систем уравнений используется метод Ньютона (будет рассмотрен ниже), система уравнений соответствующая решению (1.5) формируется в следующем виде:

G(φ^k)Δ φ^k = - I(φ^k); (1.6)

где G = [ dI / dφ ] – матрица узловых проводимостей (матрица Якоби); k – номер ньютоновских итераций; Δφ^k = φ^k+1 - φ^k - вектор поправок.

Структура матрицы проводимостей подчиняется определенным правилам: в каждом элементе главной диагонали матрицы стоит сумма проводимостей, которые одним своим полюсом соединены с соответствующим узлом. Во всех остальных элементах размещается отрицательная сумма тех проводимостей, которые расположены между узлами. Номера проводимостей в матрице определяются соответствующими номерами строк и столбцов. Формирование вектора узловых токов I(φ) состоит в образовании для каждого узла суммы полюсных токов элементов, соединенных с этим узлом. Вектор узловых токов строится также согласно строгим правилам: ток I_q источника получает отрицательный знак для того узла, из которого он «выходит», и положительный для узла, в который он «входит».

Для включения элемента в модель схемы по методу узловых потенциалов необходимо, чтобы его уравнение имело вид:

i = f(u) (1.7)

Для резистора R: i = u / R , поэтому его вклад в вектор узловых токов I будет u / R, а в матрицу G: 1 / R.

Вклад нелинейного 2-полюсника с уравнением i = f(u) в вектор токов I равен f(u), а в матрицу G: di / du.

Элементы, уравнения которых отличаются от вида (1.7), считаются неудобными для составления модели схемы в базисе УП. К ним относятся идеальные источники тока и напряжения, а также управляемые источники вида i = f(i), u = f(i), u = f(u). В этом случае можно воспользоваться следующим приемом: в ветвь с неудобным элементом включают дополнительный элемент – последовательное малое сопротивление или параллельную малую проводимость.

2. Пример составления уравнений для расчета линейной цепи постоянного тока (расчет статического режима).

Расчет статического режима может иметь самостоятельное значение, например, при составлении карты режимов схемы по постоянному току, указывающей номинальные значения токов, напряжений и рассеиваемых мощностей в разных точках и элементах схемы. Однако чаще всего моделирование статического режима является основной составной частью других, более сложных задач. Например, расчет переходных процессов в схеме можно представить как последовательность расчетов квазистатических режимов в отдельные моменты времени, в каждый из которых нужно выполнить законы равновесия (ЗТК, ЗНК), то есть найти квазистатический режим.

Методом узловых потенциалов составим систему уравнений для цепи, изображенной на рисунке 2.

Уравнения для узлов 1 – 3 выглядят следующим образом:

I₂ + I₃ – I₁ = 0,

I₄ + I₅ – I₃ = 0,

I₅ + I₆ = 0.

З аменим ток в каждой ветви, использовав уравнение (1.1), тогда:

G₂U₂ + G₃U₃ – G₁U₁ – I_q = 0,

G₄U₄ + G₅U₅ – G₃U₃ = 0,

G₆U₆ - G₅U₅ = 0.

Напряжение в каждой ветви можно выразить через узловые напряжения (потенциалы):

U₁ = -U_1,0 ; U₂ = U_1,0 ; U₃ = U_1,0 – U_2,0 ;

U₄ = U_2,0 ; U₅ = U_2,0 – U_3,0 ; U₆ = U_3,0 .

Подставляя полученные выражения в узловые уравнения и объединяя последние, получаем:

(G₁ + G₂ + G₃)U_1,0 – G₃U_2,0 = I_q ;

- G₃U_1,0 + (G₃ + G₄ + G₅)U_2,0 – G₅U_3,0 = 0 ;

- G₅U_2,1 + (G₅ + G₆)U_3,0 = 0 .

Запишем теперь систему уравнений в матричной форме:

Т аким образом, мы пришли к матричной форме системы уравнений по методу УП, сделав ряд преобразований над исходной системой уравнений. Подобную матрицу можно было бы получить сразу, следуя правилам, описанным в разделе 1. В программах СМ построение матриц проводимости и вектора токов, соответствующих системе уравнений в базисе УП, происходит автоматически по аналогичным (или похожим) правилам.

Полученная система уравнений является линейной. Для решения систем линейных уравнений наиболее известен метод Гаусса, который называют также методом исключений, потому, что неизвестные x₁, x₂, …, x_n-1 поочередно исключаются до тех пор, пока не останется одно уравнение с неизвестной x_n. После решения этого уравнения путем обратной подстановки определяются неизвестные x_n-1, x_n-2, …, x₁. Однако, как известно, большинство реальных схем содержит нелинейные элементы (диоды, транзисторы и т.п.), поэтому система уравнений для таких схем будет нелинейной. Для решения систем нелинейных уравнений в программах СМ наибольшее применение нашел метод Ньютона (метод касательных).

Поясним метод Ньютона исходя из геометрических соображений. Исходное уравнение, подлежащее решению, имеет вид:

f(x) = 0. (2)

То есть, нам нужно найти x, при котором значение функции равно 0.

На рисунке 3 показана геометрическая интерпретация одной итерации по методу Ньютона.

Согласно этому методу на каждом шаге k, функцию f(x) в точке x_k аппроксимируем линейной функцией, угол наклона α, которой равен производной f ^’(x) в этой точке. Чтобы найти следующее, приближающееся к решению значение x_k+1 , нужно найти Δx_k , которое может быть определено из выражения:

.

тогда:

.

Полученное выражение обычно записывают в виде:

,

а в случае системы уравнений:

F ^’(X_k)ΔX_k = - F(X_k),

где ΔX_k = X_k+1 – X_k – называется вектором поправок, F(X_k) – вектор невязок, F ^’(X_k) – матрица Якоби.

Таким образом, исходную систему нелинейных уравнений приводим к линейной (это называется линеаризацией), новые значения x_k+1 используем как приближенное значение решения, и процесс повторяем до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что получить его не удастся. Такой процесс нахождения решения является итерационным (что характеризует все численные методы решения уравнений). Процесс прекращается, если | Δx_k | станет меньше некоторой величины ε (ошибка вычисления).

Недостаток метода Ньютона – это малый размер области сходимости и необходимость задания точки начального приближения достаточно близко к точке решения.

Пример: