Задание №4. Обработка данных.

Исходные экспериментальные данные для выполнения задания содержатся в файле data4_3.txt. В первой строке содержатся значения абсцисс точек, во второй содержатся их ординаты. Для заданных экспериментальных данных необходимо выполнить:

– линейную интерполяцию;

– кубическую интерполяцию;

– провести регрессивный анализ и определить порядок полинома, наилучшим способом описывающего экспериментальные данные;

– определить площадь под кривой в диапазоне от минимального до максимального значения абсцисс точек (для всех функций интерполяции);

– построить графики первой производной.

Интерполирование функций:

Пусть функция y=f(x) определена таблицей. Значения аргументов {x_i} (i=0, 1, …, n)

xi	x0	x1	…	xn
yi	y0	y1	…	yn

будем называть узлами интерполяции. Задачей интерполяции является построение многочлена P(x), значения которого в узлах интерполяции x_i равны соответствующим значениям заданной функции, т.е. P(x_i)=y_i (i=0, 1, …, n).

Линейная интерполяция:

Способ приближенного вычисления значения функций  f(x), основанный на замене функции f(х), линейной функцией:  L(x)=a(x-x₁)+b параметры а и b к-рой выбираются таким образом, чтобы значения L(х).совпадали со значениями f(x).в заданных точках х ₁ и х ₂:

L(x₁)=f(x₁), L(x₂)=f(x₂)

Этим условиям удовлетворяет единственная функция

,

приближающая заданную функцию f(х) на отрезке [x₁ , x₂]с погрешностью 

, wϵ(x₁,x₂).

Для построения линейной интерполяции достаточно на каждом из интервалов (x_i,x_i+1) вычислить уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

Кубическая сплайн-интерполяция:

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки (x_i,y_i) не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция у(x) квадратичными или кубическими сплайнами, т. е. отрезками квадратичных или кубических парабол.

Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в каждом промежутке между узловыми точками осуществляется аппроксимация в виде зависимости A(t)=a*t³+b*t²+c*t+d. Коэффициенты a,b,c,d рассчитываются независимо для каждого промежутка, исходя из значений y_i в соседних точках. Участки парабол называются сплайнами. Сплайн-интерполяция обеспечивает равенство в узлах не только самих соседних параболических интерполирующих функций (сплайнов), но и их 1-х производных. Благодаря этому сплайн-интерполяция выглядит как очень гладкая функция.

Для построения кубической сплайн-интерполяции на i-м интервале, т.е. между узлами (t_i,t_i+1 ), используются формулы: 

где 

Интерполяционный полином:

Под интерполяции функции полиномами подразумевается, что некоторую функцию f(x) требуется заменить обобщенным полиномом F(x) заданного порядка так, чтобы отклонение заданной функции f(x) от обобщенного полинома F(x) на некотором интервале было минимальным.

Для каждой функции f (x), определенной на [a, b], и любого набора узлов x₀, x₁ ,...., x_n( x_i ϵ[a, b], x_i≠x_j при i ≠j ) среди алгебраических многочленов степени не выше n существует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:

=∑f(x_i)Q_i(x), (1)

где Q_i(x)-многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

Q_i(x)={1,0 при x=x_i, x=x_j для (i, j)=0, 1, 2, .. n, i≠j

Для интерполяционного полинома многочлен Q_i(x) имеет вид:

Многочлен (1) решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом.

В MathCad для линейной интерполяции используется функция linterp(x,y,z), где x – имя вектора координат экспериментальных данных по оси абсцисс, y – имя вектора по оси ординат, z – переменная, от которой будет зависеть интерполирующая функция. Проведем интерполяцию исходных данных и построим график интерполирующей функции.

Под интерполяцией полиномами подразумевается, что некоторую заданную функцию f(x) требуется заменить обобщенным полиномом заданного порядка так, чтобы отклонение заданной функции от обобщенного полинома на указанном множестве было минимальным.

На практике эмпирически полученные данные, как правило, имеют некоторую погрешность. Основной задачей регрессивного анализа является установление параметров закона описывающего эти данные с учетом погрешностей. В MathCad определить коэффициенты полинома можно определить с помощью функции regress(x,y,n), где x и y – векторы экспериментальных данных, а n – порядок полинома. Для задания полинома будем использовать функцию interp(s,x,y,t). Будем изменять n и строить график интерполирующей функции до тех пор, пока не подберем n так, чтобы график наилучшим образом проходил через экспериментальные точки.

Метод сплайн интерполяции заключается в том, что вместо полинома высокой степени, проведенного через все заданные точки, строится непрерывная кривая из фрагментов полиномов низких порядков. При интерполяции кубическими сплайнами в качестве интерполирующего полинома используется кубическая парабола. В MathCad для интерполяции с помощью кубических сплайнов применяется функция interp(s,x,y,t), вектор s найдем с помощью функции cspline(x,y).

Определим площади под кривыми интерполирующих функций, используя определенные интегралы:

Найдем первые производные от интерполирующих функций:

и построим их графики.

задача 4

Вывод:

Программный продукт MathCad хорошо помогает в сложных математических расчетах и уменьшает время решения. Его интерфейс подобен WORDу, что во многом упрощает работу в нем.