14 Подобные явления. Константы и инварианты подобия, индикаторы подобия, симплексы (параметрические критерии), критерии подобия (определяющие и неопределяющие).
Теория подобия - наука о подобных явлениях.
Подобными явлениями называются системы тел, геометрически подобные друг другу, в которых протекают процессы одинаковой физической природы, и в которых одноименные причины, характеризующие явления, относящиеся между собой как постоянные числа.
Принцип выделения группы подобных явлений из класса однородных можно уяснить на следующем простом примере:
Из класса однородных аппаратов, допустим, барабанных сушилок выделяют группу подобных аппаратов отличающихся только масштабами. Если аппарат и его модель геометрически подобны, то:
где индекс 2 относится к промышленному аппарату, а 1 - к модели.
Для одной пары автоматов величина масштабного множителя С является константой геометрического подобия.
Подобия этой пары аппаратов можно выразить и другим способом по средствам инвариантов подобия.
Для рассматириваемого примера геометрического подобия можно записать:
где il - инвариант геометрического подобия представляющий собой безмерное отношение двух размеров малого барабана L1 к D1 (модели) равно отношению сходственных размеров подобного ему производственного барабана.
Инварианты подобия представляют собой выражение величины в относительных единицах. В примере один размер (длина) подобных аппаратов выражена в относительных единицах. В качестве масштаба применяют их другой пример (диаметр).
Отличие константы подобия от инварианта в том, что константа сохраняет постоянное значение во всех точках системы, но она изменяется, когда одна пара подобных явлений заменяется другой парой той же группы.
инвариант подобия наоборот различен для разных точек системы, но он не меняется при переходе от одного явления к любому другому, подобному ему, т.е. сохраняет одно и то же значение в сходственных точках всех групп подобных явлений.
Отметим еще одно свойство констант подобия: входящие в них одноименные величины могут взаимозаменяться, т.е. отношение самих величин можно заменять отношением приращений этих величин:
При рассмотрении сложных процессов, которые определяются многими физическими величинами выбирать произвольно константы подобия этих величин нельзя. Для этих процессов, при выборе констант подобья имеются ограничения, которые находят, исследуя уравнения описывающие процесс.
Рассмотрим правило выбора констант подобия на конкретном примере уравнений теплопроводности для плоской однородной стенки при стационарном процессе (рис ниже).
Теплопередача через однородную плоскую стенку.
На основании закона Фурье плотность теплового потока известна и будет равна:
где q - плотность теплового потока; λ - теплопроводность материала стенки, δ - ее толщина, t1 и t2 - постоянные температуры на поверхности стенки.
Пусть первая - основная - система характеризуется значениями параметров q', λ', δ', а вторая:
Значения параметров второй системы получены путем уменьшения значения параметров первой системы на соответствующие константы подобия. Тогда для первой системы имеем:
а для второй:
разделив одно на другое получим:
Подставляя вместо отношения величин их константы подобия:
Функции типа уравнения 1 связывающие константы подобия называются индикаторами подобия - j.
Из уровнения 1 следует весьма важный вывод: При выборе числовых значений констант подобия для группы подобных явлений необходимо соблюдение условия (j=1). Т.е. выбор значений констант условия не произволен. Требования к выбору констант подобий обусловленные уравнение 1 для рассматриваемого примера можно представить в другом, более удобном виде.
Если в указанном уравнении константу подобия представить как отношение соответствующих параметров и все уравнения с одним штрихом сгруппировать в левой части, а с двумя в правой, то:
Уравнение 2 демонстрирует основное свойство подобных явлений, заключающихся в том, что для всех подобных систем существует безразмерные комплексы величин, которые сохраняют одно и тоже значение, эти комплексы носят название инвариантов (не изменяемые) или критериев подобия. При выводе формулы 2 был рассмотрен пример, в котором основное уравнение:
задано в комплексной форме. Если основное уравнение будет задано в дифференциальной форме, то все предыдущие результаты останутся прежними, при этом как показывается в общей теории подобия для нахождения критерия подобия, необходимо в исходном уравнении отбросить все индексы, знаки суммы, символы выражающие действия дифференцирования и т.п. ибо эти упрощающие не изменяемые константы подобия.
По этому основная ценность не интерпретируемых дифференциальных уравнений (Прим: процесса конвективного теплообмена Фурье-Киргоффа, движение вязкой капельной жидкости Новье-Стокса и др.) состоит в том, что они позволяют составить критерий подобия для описываемых ими процессов.
λ - коэфициент теплопроводности, с - удельная теплоемкость, ρ - плотность.
Проведем подобные преобразования: отбросив знаки суммирования и дифференцирования:
или критерий Фурье:
полученный комплекс являетс искомым критерием подобия, который называется критерием Фурье
А при выборе констант должно выполняться условие:
Все критерии подобия, в состав которых входит время называются критериями гомохромности, т.к. этими критериями определяется константа подобия (масштаб) времени через константы подобия других физических величин.