Билеты по геометрии:
Билет 1:
Аксиомы геометрии:
На каждой прямой и в каждой плоскости имеются 2 точки.
Имеются по крайней мере 3 точки, не лежащие на 1-ой прямой, и по крайней мере 4 точки не лежащие на 1-ой плоскости.
Через любые 2 точки проходит прямая, и притом только 1.
Через любые 3 точки не лежащие на 1-ой прямой проходит плоскость и притом только 1.
Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Если 2 точки имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки т.е 2 плоскости пересекаются по прямой.
Из 3 точек прямой и только 2 лежит между 2-му другими.
Каждая точка о прямой разделяет её на 2 части, 2 луча, так что любые точки 1-го и того же луча лежат по одну сторону, при этом точка о, принадлежит каждому лучу.
Каждая прямая «а» лежащая в плоскости разделяет эту плоскость на 2 полуплоскости, при этом 2 точки могут лежать в 1-ой полуплоскости, или в разных.
Каждая плоскость разделяет пространство на 2 части
Если при наложений совмещаются конусы 2-ух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок равный данному и только 1.
От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол равный данному неразвёрнутому углу и притом 1.
2 равных угла лежащие в плоскостях являющимися границами полупространства можно совместить наложением, что при этом совмещаются полупространства.
Любая фигура равна самой себе.
Если фигура F= , то /
Если фигура , то фигура , то /
При выбранной единице измерения отрезков длинна каждого отрезка выражается положительным числом.
При выбранной ед. измерения отрезков для любого положения числа существует ед. отрезок длина которого выражается этим числом.
В любой плоскости, через точку не лежащую на данной прямой этой плоскости проходит только 1 прямая// данной.
Стереометрия- это раздел геометрии. Который изучает св-ва фигур в пространстве.
Аксиомы стереометрии:
Любые 3 точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна.
Если 2 точки прямой лежат в плоскости. То и вся прямая лежит в этой плоскости.
Если 2 плоскости имеют общую прямую. На которой лежат общие точки (т.е 2 плоскости пересекающиеся по прямой)
Теоремы:
Через прямую. Не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только 1.
Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только 1.
Билет 2:
Параллельность прямых и плоскостей.
Обозначение:
Прямые: a, b; AB; BC.
Точки: A, B, C.
Плоскость: L, B, F.
Опр-е:
2 прямые называются, если они никогда не пересекаются и не имеют общих точек.(А//В)
Теорема:
Через любую точку пространства не лежащую на данной прямой проходит прямая параллельная данной и притом только 1.
Если 1 из 1-ух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Если 2 прямые параллельны 3, то они параллельны между собой; если а//с, b//c, то a//b.
Возможны 3 случая расположения прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют 1 общую точку т.е пересекаются
в) прямая и плоскость не имеют общих точек, т.е параллельны.
Теоремы:
Если прямая, нележащая в данной плоскости, параллельны какой-нибудь прямой из этой плоскости, то она // и самой плоскости.
Если плоскость проходит через данную прямую // другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения данных плоскостей // данной прямой.
Если 1 из 2-ух // прямых, // данной плоскости, то другая прямая либо также // данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Взаимное расположение прямых в пространстве:
2 прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в 1-ой плоскости.
Если 1 из 2-ух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не лежащей в данной прямой, то эти прямые скрещиваются.
3 случая взаимного расположения 2-ух прямых в пространстве:
Пересекаются, имеют 1 общую точку.
Прямые параллельны.
прямые скрещиваются.
Теоремы:
Через каждую из 2-ух прямых скрещивающихся прямых проходит плоскость // другой прямой и только 1.
Если стороны 2-ух углов со направлены, то такие углы равны;
Лучи называются со направленными, если они параллельны и лежат в 1-ой полуплоскости)
Взаимное расположение прямых в пространстве:
2 прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в 1-ой плоскости. Если 1 из 2-ух прямых лежит в неопределённой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не лежащей в данной прямой, то эти прямые скрещиваются.
3 случая взаимного расположения 2-ух прямых в пространстве:
1)пересекаются, именно 1 общую точку;
2) прямые параллельны;
3)прямые скрещиваются
Теоремы:
Через каждую из 2-ух скрещивающихся прямых проходит плоскость // другой прямой и только 1.
Если стороны 2-ух углов соответственно со направлены, то такие углы равны;( лучи называются со направленными, если они параллельны и лежат в 1-ой полуплоскости).
Билет 3:
Любые две пересекающиеся прямые расположены в одной плоскости и образуют две пары смежных углов. Меньший из этих углов называется углом между пересекающимися прямыми
Это определение корректно потому, что полученный угол не зависит от положения взятой точки A на прямой. B самом деле, если на прямой a брать другую точку A1 и через нее пронести прямую b2|| b, то получим угол
как углы с взаимно параллельными сторонами.
Билет 4:
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках: уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
нормальное уравнение прямой:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат. Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .
Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; a = 4; -4.
a = -4 не подходит по условию задачи.
Итого: или х + у – 4 = 0.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
Уравнение прямой имеет вид: >, где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
. Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 . Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой
Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны. Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны. Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .
k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: . Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.