- •1.Матрицы и действия над ними.
- •3.Обратная матрица.
- •4 Ранг матрицы.
- •5.Системы линейных уравнений.
- •6. Системы линейных уравнений, метод обратной матрицы и метод Крамера
- •7.Системы линейных уравнений, метод Гаусса
- •8. Системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений
- •11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой
- •14. Уравнение плоскости и прямой в пространстве
- •15. Функция и её основные свойства
- •16. Элементарная функция, классификация функций
- •17. Предел числовой последовательности
- •18. Предел функции в бесконечности и в точке
- •19. Бесконечно малые величины
- •20.Бесконечно большие величины
- •21. Основные теоремы о пределах ф-ии.
- •22. Замечательные пределы.
- •23. Понятие непрерывности ф-и.
- •24. Определение производной, зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •25. Схема вычисления производной, основные правила дифференцирования
- •26.Производная сложной функции. Производная обратных функций.
- •27. Производные основных элементарных функций, производные высших порядков.
- •28. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •29. Правило Лопиталя.
- •30. Возрастание и убывание функций.
- •31. Точки экстремума.
- •32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •33. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •34. Асимптоты.
- •35. Схема исследования функций
- •37. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
- •38. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •45. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле
- •47. Несобственные интегралы.
- •49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •51. Линейные ду 1 порядка.
- •52. Ду второго порядка
- •53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •54. Числовые ряды.
- •55. Необходимый признак сходимости гармонический ряд
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59.Ряд маклорена:
- •61. Функции нескольких переменных
- •65.Эмпирические формулы, метод наименьших квадратов
- •63. Экстремум функции нескольких переменных.
- •64. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа
1.Матрицы и действия над ними.
Таблица чисел вида , состоящая из n строк и m столбцов наз-тся матрицей размерности n*m.
Числа наз-ют её элементами, если , то матрицу наз-ют прямоугольной, если = ,то квадратной. Если =1, а 1,то матрица примет вид и наз-тся матрицей-строкой. Если же 1, а =1, то матрица наз-тся матрицей-столбцом. Число строк в кв.матрице наз-ют ее порядком. Две матрицы наз-ют равными если они имеют одинак. размерность и соответствующие элементы равны.
Сложение и вычитание матриц.Суммой двух матриц А и В одинакового размера наз-тся матрица С размерности ,эл-ты к-рой равны сумме соотв-щих элементов матриц А и В. Матрица 0 размерности ,все эл-ты к-рой=0 наз-тся нулевой матрицей. .Разностью двух матриц А и В размерности наз-тся матрица С размерности такая, что А=В+С. Из определения следует,что эл-ты матрицы С равны разности соотв.эл-=ов матриц А и В.
Св-ва сложения: сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А, сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С), А+0=0+А=А
Умножение матриц на число. Произведение матрицы А на число наз-тся матрицей 2А, элементы к-рой равны произведению числа на соотв. элемент матрицы А.
Умножение матриц. Произведение матриц размерности и матрицы В размерности наз-ся матрица С размерности , эл-ты к-рой вычисляются как сумма произведений соотв-щих эл-ов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.
Пр.
Квадратная матрица порядка наз-тся единичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.
Св-ва умножения: умножение не коммутативно, т.е. А*ВВ*А, умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют, если А матрицы размерности , В размерности , то
Св-ва общие для операций над матрицами и операциями над числами: 1)А+В=В+А,2)(А+В)+С=А(В+С), 3)Т(А+В)=ТА+ТА (Т-число),4)А(В+С)=АВ+АС, 5)(А+В)С =АС+ВС,6)Т(А*В)=(ТА)В=А(ТВ),7)(АВ)С=А(ВС)
Отличие операций над матрицами и над числами: а)если произведение матриц А В сущ-т, то произведение В на А м.не сущ-ть (А2*3, В3*3, В*А-нельзя, несогласованная матрица), б) если произвед.матриц АВ и ВА сущ.,то они м.б.матрицами разных размеров
в)даже в случае когда оба произвед.А на В, В на А и им. одинак.размер,то переместительный (комутативный) для умножения в общем случае не выполняется
г)произв.2ух ненулевых матриц б.=0
возведение в степень. Целой полож.степенью ,где m>1 в кв.матрице А наз-т произведение А*А m раз. =Е, =А, * = ,( =
Транспонирование матрицы.Если в матрице А размерности все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу размерности , к-рую наз-ют транспонированной матрицей А.
Св-ва транспонирования: , ,
Элементарные преобразования строк матрицы: умножение строк матрицы на ненулевое действительное число;прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на нек-рое число, с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.
Ступенчатая матрица-матрица, обладающая след. св-вами:1)если тая строка нулевая то также нулевая.2)если первые ненулевые эл-ты той строки и находятся соотв-но в столбцах с номерами и . Тогда
Т. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.
2.Определители, их св-ва. Определителем 2-го порядка наз-тся число, вычисляемое по ф-ле
Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз-тся число, равное сумме произведений эл-ов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.
Минором наз-ют определитель, полученный из данного путем вычеркивания той строки и –того столбца.
Алгебраическим даполнением наз-ют число равное
Т.Лапласа:Определитель -го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.
Пр.
Св-ва определителя: 1)Определитель треугольной матрицы(все эл-ты матрицы расположенные ниже(выше) гл.диагонали=0) равен произведению эл-ов главной диагонали, 2)Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю, 3)При транспонировании матрицы, определитель не меняется., 4)Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента нек-рой строки(столбца) на число ,то определитель равен , 5)Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.
6)Опред.матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0. 7)Опред. матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на нек-рое действительное число,8)Опред.произведения=произведению определителей.
, где А и В- квадратные матрицы одного порядка.