- •Экзаменационные вопросы по дисциплине
- •2. Частота события. Статистическое определение вероятности.
- •3. Классическое и геометрическое определения вероятности.
- •4. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей.
- •6. Теорема сложения вероятностей.
- •7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •8. Вычисление вероятностей событий с помощью биномиальной и полиномиальной формул.
- •9. Понятие случайной величины и её закона распределения. Дискретные и непрерывные величины.
- •10. Ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины.
- •11. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •12. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства.
- •13. Математическое ожидание, мода и квантили случайной величины.
- •14. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
- •15. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •16. Равномерное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •17. Одномерное нормальное распределение.
- •18. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора.
- •19. Функция и плотность распределения случайного вектора.
- •20. Зависимость и независимость случайных величин.
- •21. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух случайных величин.
- •22. Многомерное нормальное распределение.
- •23. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин.
- •24. Основные свойства математического ожидания.
- •25. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции.
- •26. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера.
- •27. Закон больших чисел.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Дискретная цепь Маркова: основные понятия и свойства.
- •30. Выборка и её вариационный ряд. Статистический ряд результатов измерений.
- •31. Гистограмма и полигон частот.
- •32. Статистическая функция распределения.
- •33. Понятие о точечных оценках параметров и их свойствах.
- •34. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
- •35. Понятие об интервальном оценивании параметров.
- •36. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормально распределённой случайной величины.
- •37. Проверка статистических гипотез: основные определения и общая схема проверки.
- •38. Критерий согласия Пирсона.
- •39. Критерий согласия Колмогорова. Критерий однородности Смирнова. Критерий согласия Колмогорова
- •. Критерий однородности Смирнова
10. Ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины.
Пусть Х – дискретная СВ, имеющая конечное множество возможных значений , расположенных в порядке возрастания, и , . Тогда простейшей формой закона распределения СВ Х является следующая таблица, называемая рядом распределения:
Х |
|
|
. . . |
|
Р |
|
|
. . . |
|
События , являются попарно несовместными и образуют полную группу, поэтому
.
Для наглядности ряд распределения можно представить графически: на координатной плоскости изображаются точки , , которые последовательно соединяются отрезками прямых. Полученная ломаная называется многоугольником распределения.
Если дискретная СВ имеет счётное множество возможных значений , расположенных в порядке возрастания, то её закон распределения может быть задан формулой вида , , где р – некоторая функция натурального аргумента и выполняется условие . Указанная формула также называется рядом распределения.
11. Функция распределения случайной величины и её свойства.
Функцией распределения СВ Х называется такая функция , которая при каждом значении числового аргумента х равна вероятности того, что СВ Х принимает значение, меньшее х, т.е. . Из определения СВ следует, что определена при любом значении х. Функция распределения является одной из форм закона распределения как дискретной, так и непрерывной СВ.
Рассмотрим основные свойства .
10. .
Доказательство следует из определения как вероятности: .
20. – неубывающая функция аргумента х, т.е. если , то .
Доказательство. Пусть . Событие есть сумма несовместных событий и , поэтому из аксиомы сложения имеем или , откуда , т.е. .
30. .
Доказательство следует из полученного выше равенства
.
40. , .
Доказательство. Рассмотрим значение СВ Х как положение случайной точки на числовой оси. Тогда функция при каждом значении х равна вероятности того, что случайная точка окажется левее точки х. При неограниченном перемещении точки х влево (вправо) попадание случайной точки левее х в пределе становится невозможным (достоверным) событием, поэтому , .
50. Функция распределения дискретной СВ постоянна на любом интервале, не содержащем возможных значений этой СВ, и имеет скачок в каждой точке, совпадающей с возможным значением, при этом величина скачка равна вероятности появления соответствующего значения.
60. Функция распределения непрерывной СВ непрерывна на всей числовой оси. Функция распределения произвольной СВ при любом значении аргумента х непрерывна слева.
12. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства.
Пусть Х – непрерывная СВ, а – её функция распределения. Плотностью распределения (или плотностью вероятности) СВ Х называется функция , равная производной от функции распределения этой СВ, т.е. . Если при некотором значении аргумента недифференцируема, то в этой точке не определена.
Разность равна вероятности попадания СВ на участок , поэтому отношение есть средняя вероятность, приходящаяся на единицу длины этого участка. Это означает, что характеризует “плотность вероятности”, с которой распределены возможные значения СВ. Если дифференцируема в точке х, то при малом имеет место
,
где величина называется элементом вероятности.
Рассмотрим основные свойства плотности распределения.
10. .
Доказательство следует из равенства и неубывания .
20. .
Доказательство.
.
30. .
Доказательство. .
40. .
Доказательство. .
Замечание. Для непрерывной СВ Х при любых имеет место , поэтому
.
Функция распределения непрерывной СВ называется также её интегральным законом, а плотность вероятности – дифференциальным законом распределения. График плотности называется кривой распределения.