1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.

1)L-плоскость, тогда в пространстве существуют точки, принадлежащие данной плоскости и не принадлежащие ей.

2)Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой.

3)Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и при том только одна.

4)Выполняются все аксиомы планиметрии.

Следствие1. Существует единственная плоскость L, проходящая через прямую и точку не лежащую на данной прямой.

Следствие2. Если 2 точки прямой принадлежат плоскости L, то вся данная прямая принадлежит данной плоскости.

Следствие3. Пусть дана прямая а, полностью не лежащая в плоскости L, возможно два случая

1)а и L не имеют ни одной общей точки

2)

Следствие4.Через 3 точки пространства проходит плоскость, при том только одна. А,В,С - не лежат на одной плоскости.

2.Взаимное расположение двух прямых.

1) m//l

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2) m и n пересекаются, если они имеют хотя бы одну общую точку.

3)Прямые m и n могут скрещиваться. Две прямые называются скрещивающимися,если они лежат в разных плоскостях и не пересекаются.

4)Прямые m и n совпадают

Теорема 1 .Через 2 параллельные прямые проходит плоскость при том только одна.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит одна плоскость.

Теорема 3. Если одна из прямых лежит в плоскости L, а другая пересекает данную плоскость в точке, не принадлежащей данной прямой, то такие прямые скрещиваются.

Теорема 4. Если две прямые m и n имеют хотя бы две общие точки, то они совпадают.

Теорема 5. Через 2 совпадающие прямые проходит бесконечное число плоскостей.

Теорема 6. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость L, то и другая прямая пересечет данную плоскость.

Если направляющий вектор одной прямой параллелен направляющему вектору другой,

то прямые параллельны.

Два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

3. Параллельной прямой и плоскости.

Прямая l называется параллельной плоскости L, если она не имеет с данной плоскостью ни одной общей точки.

Теорема: прямая l будет параллельна плоскости L,тогда и только тогда, когда данная прямая будет параллельна какой либо прямой, лежащей в плоскости L.

5. Параллельность плоскостей.

Две плоскости L и B называются параллельными если они : совпадают, не пересекаются ни в одной точке.

Теорема: Плоскость гамма пересекающая одну из параллельных плоскостей пересекает и другую, причем линии по которым пересекаются плоскости, будут параллельны.

8. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая l будет перпендикулярна плоскости L , если она будет перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости L.

Теорема: Для того, чтобы прямая l была перпендикулярна плоскости L необходимо и достаточно, чтобы данная прямая была перпендикулярна хотя бы 2 пересекающимся прямым, лежащим в плоскости L.

9. Перпендикуляр и наклонная.

Прямая l называется наклонной к плоскости L, если она не ледит в данной плоскости и неперпендикулярная ей.

Прямая m называется проекцией наклонной на плоскость L, если каждая ее точка является проекцией наклонной точки прямой l.

10. Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая l, лежащая в плоскости L и проходящая через основание наклонной перпендикулярна проекции наклонной , если перпендикулярна самой наклонной и наоборот.

АВ - перпендикуляр, В - основание перпендикуляра, АС - наклонная, С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной.

11.Признак перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости называются перпендикулярными, если образованные ими смежные двугранные углы равны.

12. Ортогональное проектирование.

Ортогональной проекцией точки А на плоскость L называется основание перпендикуляра опущенного из точки А к плоскости L. Проекцией отрезка будет отрезок.

Если отрезок будет расположен перпендикулярно плоскости, то его проекцией будет одна точка.

Если в пространстве расположен луч, то его проекцией будет луч.

17. Векторы в пространстве. Действия над нами.

Вектор - правильный отрезок.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Любой вектор, полученный параллельным переносом вектора АВ, будет равен ему.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат, а параллельных прямых.

Действия над векторами:

Умножение вектора на число:

Сложение векторов: чтобы сложить два вектора надо сложить их соответствующие координаты.

Разложение векторов в базисе (по направлению)

Базис - система векторов через которую можно выразить любо другой вектор.

Орт нормированный базис-базис, векторы которого попарно перпендикулярны и их длины =1.