Тема 24. Математические модели операций. Аналитическое и имитационное моделирование.

Аналитические и имитационные модели стохастических систем. В качестве показателей свойств стохастических систем выступают стохастические характеристики соответствующих (случайных) выходов системы, такие как математическое ожидание, дисперсия, ковариационная матрица, вероятность попадания в допустимую область, квантиль и другие. Эти статистические характеристики могут рассчитываться при моделировании стохастической системы двумя способами: аналитически или путем имитации процесса функционирования системы. Соответствующие модели стохастических систем называют аналитическими и имитационными. В литературе имитационное моделирование систем называют также статистическим моделированием или моделированием по методу Монте-Карло.

Мы хорошо знакомы с методами построения некоторых математических моделей, дающих возможность установить аналитическую (формульную) связь между заданными условиями операции (в том числе принятым нами решением) и результатом (исходом) операции, характеризующимся одним или несколькими параметрами — показателями эффективности. Если в ход операции вмешиваются случайные факторы, то она представляет собой случайный процесс, а показатель эффективности — вероятность какого-то события или же математическое ожидание какой-го случайной величины. Иногда удается построить аналитическую модель случайного процесса (например, систему дифференциальных) уравнений для вероятностей состояний или алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний) и связать заданные условия операции с ее исходом аналитическими зависимостями. Однако это удается далеко не всегда, — главным образом, в тех случаях, когда случайный процесс, протекающий в рассматриваемой системе, марковский или близок к марковскому.

На практике далеко не все случайные процессы, наблюдаемые в операциях, являются марковскими или близкими к ним. Например, и реальных системах массового обслуживания поток заявок отнюдь не всегда бывает пуассоновским; еще реже наблюдается показательное (или близкое к нему) распределение времени обслуживания. Для произвольных же потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, аналитические решения получены только для отдельных частных случаев, а в общем случае удовлетворительных методов математического описания соответствующих процессов не существует.

В тех случаях, когда построение аналитической модели явления по той или другой причине трудно осуществимо, применяется другой метод моделирования, известный под названием метода статистических испытаний или, иначе, метода Монте-Карло.

В настоящее время при имитационном моделировании операций и вообще случайных процессов метод статистических испытаний применяется очень широко. Такое широкое распространение метода связано, главным образом, с появлением ЭЦВМ, позволяющих в обозримые сроки выполнять массовые расчеты по этому методу (без машин весьма трудоемкие). Однако в принципе метод Монте-Карло может применяться и без помощи ЭЦВМ. В данном параграфе мы изложим существо метода, безотносительно к способу его осуществления.

Идея метода Монте-Карло чрезвычайно проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать случайное явление с помощью аналитических зависимостей, производится "розыгрыш" — моделирование случайного явления с помощью некоторой процедуры, дающей случайный результат. Так же как в жизни конкретное осуществление процесса складывается каждый раз по-иному, так же и в результате «розыгрыша» мы получаем один экземпляр — одну «реализацию» случайного явления. Произведя такой «розыгрыш» очень большое число раз, мы получим статистический материал — множество реализаций случайного явления, — который можно обработать обычными методами математической статистики.

Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель явления и исследовать зависимость между его параметрами на этой модели. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, систем, людей, коллективов) и в которых случайные факторы сложным образом взаимодействуют между собой, метод статистических испытаний, как правило, оказывается проще аналитического.

В сущности, методом «розыгрыша» может быть решена любая вероятностная задача; однако оправданным он становится только в случае, когда процедура «розыгрыша» проще, а не сложнее применения аналитических, вычислительных методов.

Рассмотрим элементарный пример. Решается задача: по некоторой цели Ц производится четыре независимых выстрела, каждый из которых попадает в нее с вероятностью р = 0,5. Для поражения (уничтожения) цели одного попадания недостаточно, требуется не менее двух попаданий. Определить вероятность поражения цели.

Поставленную вероятностную задачу можно решить двумя способами: а) аналитически и б) «розыгрышем».

Сначала решим задачу аналитически. Вероятность поражения цели W вычислим через вероятность противоположного события - непоражения цели. Вероятность непоражения цели равна сумме вероятностей ни одного попадания и ровно одного попадания; вероятность ни одного попадания равна 0,5⁴; вероятность ровно одного попадания равна С₄¹·0,5¹·0,5³ = 4·0,5⁴, следовательно,

W = 1 - (0,5⁴ + 4·0,5⁴) ≈ 0,688.

Теперь попробуем решить ту же задачу «розыгрышем». Будем моделировать процедуру стрельбы с помощью другой, тоже случайной, процедуры. Вместо четырех выстрелов по цели будем бросать четыре монеты: появление герба будет условно означать «попадание», а решки — «промах». Если из четырех брошенных монет не менее двух упадут гербом, это будет значить, что цель «поражена». «Опытом» или «розыгрышем» в нашем случае будет бросание четырех монет; "результатом"или "исходом" этого опыта — "поражение" или «непоражение» цели.

Повторим такой «опыт», состоящий в бросании четырех монет, очень много раз подряд. Тогда, согласно теореме Бернулли, частота «поражения» цели почти наверняка будет мало отличаться от вероят­ности этого события W; значит, если мы бросим четыре монеты боль­шое число раз N и разделим число «поражений» цели на N, мы почти наверняка получим число, близкое к W, т. е. к 0,688.

В данном примере определение вероятности W розыгрышем было несравненно труднее, чем аналитическим расчетом. Однако далеко не всегда это бывает так. Очень часто оказывается, что получение вероятности события (или среднего значения случайной величины) аналитическим, расчетным путем настолько сложно и громоздко, что проще оказывается розыгрыш.