13.Скатывание с горки 2ух цилиндров, пустого и сплошного.

Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Какое из тел быстрее скатится?

При скатывании с горки высотой h у обоих цилиндров высвобождается одинаковая потенциальная энергия: П = m*g*h , где m - масса цилиндра , g - ускорение свободного падения, и превращается в кинетическую К. В случае скатывания без проскальзывания цилиндры вращаются, поэтому полная кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного( Кп) и Вращательного( Кв) движений: К = Кп + Кв .

Кп = m*V²/2 (, где V - скорость поступательного движения у основания горки ; Кв = J*ω²/2 , где J - момент инерции цилиндра относительно его оси, ω - угловая скорость вращательного движения у основания горки. То есть полная кинетическая энергия Цилиндра равна: К= m*V²/2+ J*ω²/2.

По закону сохранения энергии: m*g*h= m*V²/2+ J*ω²/2. Подставив ω = V/R, получим m*g*h= m*V²/2+ J* V²/2 R², откуда V=√ m*g*h/(m/2+ J/2 R²) или V=√ 2m*g*h/(m+ J/ R²)

Момент инерции сплошного цилиндра Jсп=m*R²/2, а пустотелого Jпуст= m*R^2. Подставляем эти формулы в формулу для скорости и находим, что скорость пустотелого цилиндра равна Vпуст=√ 2*g*h/2, а для сплошного Vсплош=√ 2*g*h/1.5.

Находим отношения скоростей Vпуст/ Vсплош=√1.5/2, то есть Vпуст=√1.5/2* Vсплош. Т.е. скорость сплошного цилиндра больше скорости пустотелого, значит сплошной цилиндр скатиться быстрее. Отсюда можно сделать вывод, что чем меньше момент инерции, тем быстрее скатиться тело.

14.Кинематическое описание движения жидкости. Уравнение движения и равновесия жидкости. Идеальная жидкость.

1. Кинематическое описание движения жидкости.

П ри кинематическом описании движения жидкости удобнее всего рассматривать движение жидкости в данный момент времени в данной точке в целом, а не конкретно какой либо молекулы.

Основной характеристикой кинематического движения является скорость, которая характеризуется величиной и направлением в данный момент времени.

Для того чтобы описать движение жидкости рассматривают множество частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если таких точек взять много и при этом зафиксировать время, то , в пространстве получится мгновенная картина распределения скоростей жидкости – поле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая проходит через эту точку в рассматриваемый момент времени. Для графического представления поля скоростей используют линии тока - линии, в каждой точке которых касательная совпадает по направлению со скоростью частиц жидкости в данный момент времени. Часть жидкости, ограниченную линиями тока называют трубкой тока.

Если поле скоростей, а следовательно, и соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся. Если же они меняются во времени, то движение называется нестационарным или неустановившимся. При стационарном движении скорость от времени не зависит, а зависит только от координат: В этом случае линии тока совпадают с траекториями движения отдельных частиц жидкости.

2.Уравнение движения и равновесия жидкостей.( ни в лекциях ни в учебнике этого нет.завтра спрошу на консультации, что конкретно он имел вииду и исправлю)

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что  , где ρ — плотность жидкости в данной точке, получим:

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

где   — плотность жидкости,  — давление в жидкости,  — вектор скорости жидкости,  — вектор напряжённости силового поля,  — оператор набла для трёхмерного пространства.

3. Идеальная жидкость. Реальная жидкость обладает рядом свойств, таких как, например, вязкость – способность оказывать сопротивление перемещению одних частиц относительно других. Но при рассмотрении движения жидкости принято пользоваться понятием идеальной жидкости, то есть жидкости в которой отсутствует вязкость. Не смотря на то, что Идеальная жидкость— это идеализированная модель жидкости, она даёт достаточно хорошее описание реальных течений жидкостей. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей.