- •19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
- •20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
- •21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
- •22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
- •23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
- •24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
- •25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
- •26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
- •27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
- •28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .
- •30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin X.
- •35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.
- •36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.
- •37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
1.Общий вид: (1)
Порядок уравнения понижается каждый раз на единицу путем последовательного интегрирования.
…………………………………………
2.Д.У не содержащие явно искомой функции y и ее первых производных до порядка включительно, т.е. общий вид:
(2)
Производится замена: ;
;
;
………………….
Уравнение (2) сводится к: . Порядок, которого . Решив его находим функцию , т.е. уравнение (1).
3.Д.У. не содержащие явно независимой переменной x. Общий вид: (3)
Производится замена: ;
;
….;
Порядок уравнения понижается на единицу.
20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
Линейные однородные Д.У. высших порядков с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). Общий вид:
(1)
– постоянные числа или коэффициенты уравнения.
Решение уравнения (1) будем искать в виде: , (2)
где - некоторое число, предложено Эйлером.
Дифференцируем последовательно решение (2): ;
……………..
Подставим y и производные в уравнение (1):
Сократим на (3)
Функция является уравнением решения (1) тогда и только тогда когда число есть корень уравнения (3).
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) оно получается из Д.У. (1) путем замены производной на соответствующую степень числа , т.е.: ;
;
………………..
;
Таким образом, чтобы найти решении Д.У. (1)в виде (2) нужно: 1)Составить характеристическое уравнение (3); 2)Найти его корни , ,…, ; 3)Каждому корню соответствует решение: ; ;
Возможны следующие случаи корней характеристического уравнения: 1)Корни действительные и различные; 2)Корни действительные кратные; 3)Корни комплексные различные; 4)Корни комплексные кратные;
Корни действительные различные: Пусть , ,…, - действительные различные корни уравнения (3) им соответствует n-решений: ;
;
.………….
;
Эти функции линейно независимые и образуют фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих функций является общим решением уравнения (1): (4)