- •1) Перестановки, размещения, сочетания
- •2) «37»Векторное произведение
- •1)«31» Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми
- •2) «101» Числовой ряд.
- •3) «59» Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •1)«27» Прямая, как линия первого порядка. Общее уравнение прямой.
- •2) «66» Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •3) «102» Сумма ряда, необходимый признак сходимости
- •1) «10» Миноры. Теорема о разложении. Алгебраические дополнения
- •2) «68» Формула Тейлора. Разложение элементарных функций. Формула Маклорена
- •3) «85» Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона — Лейбница
- •1) «30» Точка пересечения двух прямых
- •2) «63» Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала
- •1)21. Линейная независимость системы векторов.
- •2) «71»Достаточное условие экстремума функции в точке.
- •3) «90» Предел функции нескольких переменных, частное и полное приращение функции, непрерывность функции
- •2)«72» Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.
- •2) «53» Классификация точек разрыва
- •1. Устранимый разрыв.
- •3) «107» Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •2) «69» Монотонность функции. Признак монотонности
- •3) 99» Понятие двойного интеграла. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах
- •2) «76» Понятие первообразной и неопределенного интегралa
- •3) «117» Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения высшего порядка
- •Второй замечательный предел
- •2) «98» Необходимые и достаточные условия экстремумов функции нескольких переменных
- •3) «105» Интегральный признак сходимости
- •1) Уравнения прямой в пространстве.
- •1) «51» Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций
- •3) Частные производные 1-го порядка, их геометрический смысл.
- •1) Основные свойства предела функции
- •2) Приложения определенного интеграла (нахождение объема тела вращения, длины дуги, площади поверхности тела вращения в декартовой и полярной системах координат) Вычисление объема тела вращения
- •3)Степенные ряды
- •1) Исследование функций с помощью первой и второй производных. Построение графиков функций по характерным точкам.
- •3) «118» Общее решение линейного неоднородного уравнения высшего порядка
- •Второй замечательный предел
- •2)«74» Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная
- •3. 113» Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли «114» Уравнения в полных дифференциалах. Теорема Коши
- •1.Полный дифференциал функции нескольких переменных. Производная сложной функции.
- •2.Математическим ожиданием дискретной случайной величины.
- •3. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1. Основные свойства матриц. Транспонированная матрица.
Билет №1
«3» перестановки, размещения, сочетания
«37» Векторное произведение и его основные свойства.
«38» Скалярное произведение и его основные свойства.
«131» Случайная величина и ее числовые характеристики.
–
1) Перестановки, размещения, сочетания
Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation). Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки - СВА. Число всех перестановок из n элементов Пр: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА
Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement)
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА - это два разных размещения. Число всех размещений из n по m Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ
Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination). Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех размещений из n по m
Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ
Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями
2) «37»Векторное произведение
Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F, скорость, ускорение.
О: Векторным произведением векторов в и именуется вектор , который определяется следующим образом:
1) ; 2) ;
3) векторы , , образуют правую тройку (рис. 2.15).
Для векторного произведения используются символы
Рис. 2.15
Свойства векторного произведения:
10. Антипереместительный закон:
□ Векторы и по определению векторного произведения обладают равными длинами, являются коллинеарными, однако направлены в разные стороны, следовательно
20. Сочетательный закон: .
30. Распределительный закон: .
40. Площадь параллелограмма, который построен на векторах и : , а площадь треугольника .
Свойства выводятся из определения векторного произведения.
50. Необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов и есть то, что их векторное произведение равно нулю.
«38» Скалярное произведение векторов
Ключевые слова: вектор, координаты, скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
Утверждения:
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.
Скалярное произведение двух векторов − a(a1;a2;a3) и − b(b1;b2;b3) , заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле (− a − b)=a1 b1+a2 b2+a3 b3 .
Основные свойства скалярного произведения
Для любых векторов − a, − b и − c и любого числа справедливы равенства:
(− a)2=(− a − b) 0 , причем (− a)2=0 − a=− 0 ;
переместительный закон: (− a − b)=(− b − a);
распределительный закон: (− a+− b − c)=(− a − c)+(− b − c);
сочетательный закон: (− a − b)=( − a − b).
3) «131» Случайная величина. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения.
Числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия, а так же и моменты случайных величин.
Математическое ожиданием М(Х) называется средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания: D[Х]=M[X-M(X)]2
Моментом k-порядка называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины Х от некоторой постоянной с.
Если в качестве с берется нуль, моменты называются начальными νk = М(Х)k
Если с = М(Х), то моменты называются центральными μ = M[X – M(X)]k
Билет 2
«31» Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми
«32». Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения
Скалярное произведение векторов