- •Вопрос 1 .Правило сложения и умножения
- •Вопрос 3. Размещения.
- •Вопрос 4. Сочетания
- •Вопрос 32 многомерные случайные величины.
- •Вопрос 36. Центральная предельная теорема.
- •Вопрос 11 часть 1 условная вероятность часть 2 теорема умножения
- •Часть 1 условная вероятность
- •Часть 2 теорема умножения
- •Вопрос 16 .Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
- •Вопрос 21.Математические операции над случайными величинами
- •Вопрос 23. Дифференциальная функция распределения
- •Вопрос 25. Дисперсия
- •Определение
- •[Замечания
- •Свойства
- •Вопрос 12.Вероятность появления хотя бы одного события. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •Часть 1. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •Часть 2. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •Вопрос 10. Теорема суммы вероятностей несовместных событий. Зависимые и независимые случайные величины.
- •Часть 1 Теорема суммы вероятностей несовместных событий.
- •Часть 2. Зависимые и независимые случайные величины.
- •Вопрос 13.Формула полной вероятности.
- •Вопрос 7.Геометрическое определение вероятности.
- •Вопрос 6.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •Часть1 Классическое определение вероятности.
- •Вопрос 15.Схема Бернулли.
Вопрос 1 .Правило сложения и умножения
Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.
Правила сложения и умножения вероятностей: если события попарно несовместны, то справедливо равенство
Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:
Для произвольных событий A и B имеет место формула:
В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:
Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:
Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:
Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:
События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.
Правило умножения вероятностей для n событий: если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле
В частности, если события независимы, то
Вопрос 3. Размещения.
Пусть имеется множество из четырех различных цифр {3,5,7,8}. Необходимо составить всевозможные двузначные числа, каждое из которых состоит из различных цифр.Каждое число является упорядоченным подмножеством, состоящим из двух элементов, данного множества, состоящего из четырех элементов. Перечислим их: 35, 37, 38, 53, 73, 83, 57, 58, 75, 85, 78, 87. Всего таких подмножеств- двузначных чисел получилось 12. Каждое упорядоченное подмножество называется размещением . Определение : Размещением из п элементов по т называется любое упорядоченное подмножество из т элементов множества, состоящего из п элементов.На практике чаще представляет интерес не конкретный вид размещений, а их количество. Следующая теорема дает общую формулу для вычисления размещений.
Теорема: Число размещений из n элементов по m равно
Доказательство: необходимо заполнить т мест элементами множества из п элементов. Каждое действие- это выбор определенного элемента. Действия совершаются последовательно, значит применимо правило умножения. Первый элемент можно выбрать п способами, второй- (п-1) способами, последний т-ый элемент- (п-(т-1)) способами. Тогда количество размещений равноп(п-1)(п-2)…(п-(т-1)). Умножим и разделим данное выражение на (п-т)!, преобразовав получим более удобный вид :
Пример. Сколько можно составить четырехзначных чисел, состоящих из разных цифр, использую все 10 цифр?
Решение: В числе важен порядок следования цифр. Следовательно, нужно найти количество размещений из 10 по 4:
Но среди них есть числа с нулем в начале. из полученного значения 5040 необходимо вычесть количество таких чисел. Найдем это количество: т.к. на первом месте стоит о, то оставшиеся три выбираем из 9, т.е.
Искомое количество чисел равно 5040-504=4536.
. Вопрос 2. Перестановки
Рассмотрим случай, когда п=т. Такие размещения называются перестановками.
Определение: Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество , в которое входят по одному разу все п различных элементов данного множества.
Формулу для определения количества перестановок дает теорема.
Теорема: Число перестановок п различных элементов равно п!, т.е. Рп=п!
Доказательство:
Следовательно, Рn= n!