3 КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

3.1 Взаимосвязь основных параметров колебательного движения.

Любой периодический колебательный процесс можно представить в виде суммы самых простых колебательных движений - в виде суммы гармонических колебаний. Поэтому остановимся на рассмотрении кинематики гармонического колебания.

Уравнение смещения тела из X=X₀sint₀) /1/

положения равновесия: ~ Х = Х₀ cos(t+₀ ) (1 )

Х₀ -- амплитуда смещения, t₀ -- фаза колебания, ₀- начальная

фаза,  -- круговая или циклическая частота, t- время.

Время одного полного колебания- это период Т. Период и часто-

та колебаний  являются обратными величинами, т.е. Т = 1/ или

Т = 2п/,т.к.  = 2п. [] = Гц; кГц; МГц; ГГц.

Колебательная скорость  может быть получена из (1):

dx/dt=X₀cos(t+₀) – амплитуда колебательной скорости.

Колебательное ускорение a : a=d²X/dt²=-X₀²sin(t+₀)

a₀X₀²-амплитуда колебательного ускорения. Таким образом, колебательное ускорение отстает по фазе от смещения Х на 

3.2 Сложение колебаний с близкими периодами. Биения.

Пусть точка одновременно совершает два гармонических колеба-

ния, направленных вдоль одной прямой /оси ОХ/ и имеющих близкие частоты ₁ и ₂ /соответственно -близкие периоды/, т.е.

₂-₁ =₁,₂

Предполагая, что начальная фаза обоих колебаний равна нулю, бу-

дем иметь:

Х₁= X_0cos ₁t

и X₂= Х₀ cos₂t

о

/предполагаются одинаковые амплитуды/

Точка будет совершать колебание, выражаемое алгебраической суммой:

Х=Х₁+Х₂= Х₀(соs ₁tcos ₂t),

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

соscoscos cos 

Тогда получим

X=2X₀cos tcos t /1/

где  =₁₂

Величина X₀₀2X₀cost представляет собой амплитуду результирующего квазигармонического колебания точки. Но в отличие от обычного гармонического колебания Х₀₀ не остается постоянной во времени, а сравнительно медленно изменяется по периодическому закону с частотой /2 . Такие колебания называются биениями. Периодическое изменение амплитуды от 2Х₀ до 0 обусловлено постепенным запаздыванием по фазе одного из исходных колебаний: при разности фаз исходных колебаний, равной

n /где n=0,

амплитуда результирующего колебания равна 2Х₀ , а при разности

фаз, равной(2n +1)\123456 амплитуда равна 0.

ПРИМЕНЕНИЕ: Настройщик рояля добивается"нулевых" биений звуковых колебаний от эталонных камертонов и струн музыкального инструмента /постепенно натягивая или отпуская струну он добивается максимального снижения частоты результирующего звукового колебания,благодаря чему процесс настройки становится стандартным и очень точным/. В т.н."гетеродинных"частотомерах также используется принцип нулевых биений для идентификации частоты нового источника колебаний.

3.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу.

Сложение колебаний,направленных под прямым углом друг к другу, достаточно часто происходит в различных процессах,протекающих в природе и в различных технических устройствах. Например, при подаче переменного напряжения на две пары отклоняющих пластин электроннолучевой трубки электронный пучек одновременно

участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. На экране ЭЛТ можно наблюдать траекторию результирующего колебательного движения.

Рассмотрим следующие ситуации:

1 Х= Х₀ cоs(t+₀₁)

Y=Y₀cos(t+₀₂) /1/

1.1 ₀₁=₀₂

2. ₀₁=₀₂+

3. ₀₁=₀₂+

Чтобы найти уравнение траектории движения точки, необходимо в каждом случае в системе уравнений /1/ освободиться

от параметра t . Тогда в случае --

1.1 Y=Y₀X₀ - уравнение прямой

1.2 Y=-Y₀/X₀- уравнение прямой, проходящей через 2-ой и 4-ый квадр.

1.3 Для получения уравнения разделим оба уравнения /1/на коэффициент при cos , возведем в квадрат и сложим левые и правые части:

(X/X₀)²=sin²(t+₀₁+);

(Y/Y₀)²=cos²(t+₀₁+)

Y²/Y₀²+X²/=1 -уравнение эллипса.

Если Х₀=У₀, то точка совершает круговые движения. Если же

₀₁=₀₂-/2 ,то траектория остается эллипсом, но вращение

точки происходит в обратном направлении.

В случае произвольных значений ₀₁ и ₀₂ траектория будет также эллипсом,вписанным в тот же прямоугольник /см.рис.

прямые 1.1 и 1.2 следует рассматривать как вырожденный эллипс, у которого одна из полуосей равна 0.

4 Динамика материальной точки

4.1 Законы Ньютона. Компоненты силы.

Динамика поступательного движения основана на трех законах

Ньютона. Первый закон -- это установленный еще Галилеем принцип инерции:

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и пря-

молинейного движения до тех пор, пока на него не действуют другие

тела или равнодействующая всех приложенных сил равна нулю.

Конечно, поставить опыт в обычных условиях, который в чистом

виде подтвердил этот закон, просто нельзя из-за присутствующих в

любом движении сил трения. Поэтому нужно иметь богатое воображение,чтобы в эпоху средневековья сформулировать принцип инерции.

Второй и третий законы полностью принадлежат Ньютону:

Ускорение, с которым движется тело прямо пропорционально силе,

приложенной к нему, и обратно пропорционально его массе. Вектор ускорения совпадает по направлению с вектором силы:

a=F/m или F=ma

РУЪ

F-- равнодействующая всех приложенных к телу сил. [F] =Н;

[m]=кг.

Масса m является мерой инертности тела при поступательном движении

При неизменной массе тела второй закон Ньютона может быть представлен в виде:

F=d(m)/dt или F=ddt

где  - импульс тела. Таким образом, результирующая всех приложенных к материальной точке сил равна скорости изменения импульса тела.

Любой вектор можно разложить в пространстве на три взаимно пер-

пендикулярный составляющие /соответственно направленные вдоль осей ОХ, ОУ и OZ /. Поэтому вектор силы имеет три компаненты:

F_x=m(d_x/dt)=m(d²x/dt²)=ma_x

F_y=m(d_y/dt)=m(d²y/dt²)=ma_y

F_z = m(d_x/dt) =m(d²z/dt²) =ma_z .

Эти уравнения представляют собой полную форму второго закона

Ньютона.' Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты,можно с помощью этих уравнений найти движение тела /т.е. установить кинематические параметры/. Возможна постановка и обратной задачи: зная уравнение движения и массу тела, можно определить силу, обуславливающую ускорение тела. Так что,динамика в отличие от кинематики рассматривает не только параметры кинематики, но и интересуется причинами вызывающими движение, т.е. -- силами.'

Третий закон Ньютона гласит:

Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и

противоположно направлены: F₁₂ =-F₂₁

Следует иметь ввиду, что, несмотря на равенство модулей и противоположное направление этих сил, они никогда

не компенсируют друг друга /их нельзя складывать, т,к. они приложе

ны к разным телам./

Заметим, что второй закон Ньютона не точен. Рассматривая реля-

тивистскую динамику, мы внесем в него существенные уточнения.

Чтобы осмысленно применять законы Ньютона, мы должны произвести определенную классификацию сил по их основным свойствам.

4.2 Фундаментальные силы и силы инерции.

Фундаментальные силы проявляются при помощи наиболее простых

полей: гравитационного и электрического. К фундаментальным си-

лам относится Кулоновская сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов, а также силы тяготения двух МТ. Эти силы убывают по модулю с расстоянием : F1/r² , а линия действия этих сил проходит через взаимодействующие точечные тела. Силовые и энергетические параметры фундаментальных полей подчиняются принципу суперпозиции. Например, вектор напряженности электростатического поля,созданного некоторым числом точечных электрических зарядов, равен векторной сумме напряженностей, созданных отдельными зарядами:

₁₂₃…+_n

С электричеством тесно связана сила другого рода, называе-

мая магнитной; ее также можно анализировать через понятие поля.

В случае сил взаимного притяжения тел можно сказать, что

МТ с массой m₁, создает поле C во всем окружающем пространстве и сила, притягивающая МТ с массой m₂ , равна:

F =m₂C.

По аналогии с электричеством можно записать:

C=- m₁/r³r и С=С₁+С₂+…С_n

Однако, в теории тяготения Эйнштейна доказывается, что в

последнем случае принцип суперпозиции в такой простой форме вы-

полняется лишь приближенно.

Среди известных физике сил особое место занимают силы инер-

ции или псевдосилы /как бы силы/ Силы инерции проявляются в не-

инерциальных системах отсчета, т.е. в системах отсчета, движу-

щихся с ускорением по отношению к простейшей инерциальной системе. Хорошим примером является система отсчета, связанная с вагоном движущегося поезда. В момент резкого замедления /включили стоп-кран/ различные предметы без видимой причины приходят в движение. В такой системе законы Ньютона в обычной их форме не выполняются. Ускоренное движение предметов вызвано действием сил инерции. Другим примером псевдосилы является хорошо известная центробежная сила. Такого рода силы мы рассмотрим в дальнейшем более подробно.

В начале 20 века физики пришли к выводу о существовании

уникального типа сил -- ядерных сил. Между нуклонами ядра, находящимися на очень малых расстояниях друг от ,друга, действуют силы притяжения, которые резко убывают с расстоянием /и потому получили название "короткодействующих"/. Эти силы проявляются не зависимо от того,имеется ли у нуклонов электрический заряд. Существует предположение, что ядерные силы проявляются через специфические ядерные поля, но законы Ныотона здесь не применимы. Для описания поведения нуклонов, их энергетики служит квантовая механика

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

4.4 Преобразование Галилея.

Возникает вопрос - как связаны между собой координата, время,

скорость и ускорение материальной точки в разных системах координат, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью.

Соответствующие преобразования в классической физике получили название Преобразование Галилея.

Рассмотрим две прямоугольные системы координат Х , У, Z и

Х, У, Z. Пусть соответствующие оси коллинеарны между собой, пер-

вая система неподвижна, а вторая - X,У',Z' движется вдоль оси ОХ с

постоянной скоростью ₀ /см. рис.

Преобразование координат может быть представлено в виде:

х= x'+₀t, у=у, z=z', t=t /1/

Формулы для преобразования скорости получим из формул /1/ путем

взятия первой производной по времени:

     

x=x₀ y=y z=z или

V=V+V₀ /2/

Формула /2/ выражает правило сложения скоростей в классической механике: вектор скорости в неподвижной системе координат равен векторной сумме скорости тела в подвижной системе и относительной скорости подвижной системы.

Формулы преобразования ускорения получим путем взятия производ-

ной по времени от соотношений /2/:

     

х = х, y =у z=z или a=a /3/

У=а

Таким образом, ускорения в указанных системах равны друг другу. Мо

жно считать, что и в любой системе, движущейся с постоянной скоро-

стью, ускорение будет =-- -- одно и то же. Поэтому с точки зрения

динамики системы отсчета, движущиеся с постоянной скоростью отно

сительно друг друга и относительно неподвижной системы, неразличи

мы, равноценны между собой.

ЗАМЕЧАНИЕ. При получении соотношений /1/ мы полагали, что коор-

динаты материальной точки имеют в любой момент времени вполне определенное /фиксированное/ значение. Соотношение /1/ устанавливает связь между ними. При получении соотношений /2/ мы полагаем, что материальная точка перемещается с постоянной скоростью относительно неподвижной системы, поэтому взятие производных по времени от соотношений /1/ не обращает их в нуль. При получении соотношений /3/ делается допущение о наличии ускорения у материальной точки,что позволяет перейти к преобразованию ускорения.

4.5 Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.

Инерциальными системами отсчета называются такие системы, в ко-

торых выполняются законы Ньютона. Это системы отсчета, связанные с телом отсчета, которое в условиях данной задачи можно считать неподвижными. Поскольку системы отсчета, движущиеся относительно указанной с постоянной скоростью и прямолинейно, динамически неразличимы, то все они также являются инерциальными. В любой из этих систем тело движется с одним и тем же ускорением, а следовательно на него действует одна и та же результирующая сила. Эксперимент, поставленный, например, с помощью машины Атвуда, в любой из этих систем даст одни и те же результаты. Если вагон поезда движется равномерно, то при закрытых шторками окнах никакими механическими опытами нельзя установить < движется ли он или стоит на месте.

Наиболее обоснованно в качестве инерциальной системы выбрать

гелиоцентрическую систему, т.е. систему, связанную с Солнцем.

Многочисленные опыты подтверждают это положение. Однако, на практике чаще всего систему отсчета связывают с каким-либо неподвижным телом, находящимся на Земле. Строго говоря, такая система лишь в первом приближении может считаться инерциальной, так как Земля участвует одновременно в двух вращательных движениях вокруг Солнца и вокруг собственной оси. При решении многих задач можно считать эти вращения достаточно медленными и не учитывать их .

Введем новые обозначения:

-- ускорение относительно инерциальной системы отсчета /СО/

 -- ускорение относительно неинерциальной системы отсчета/НСО/

Поскольку ускорения в этих системах будут различны, то

a или fma

Откуда следует, что даже при f= 0 ускорение тела относительно

НСО не равно нулю. Ускорение a называют ускорением инерции, а

соответственно f_ин = -ma -- силой инерции.

Таким образом, рассматривая задачу динамики в неинерциальной

системе помимо известных для инерциальной системы сил вводится

еще одна сила -- сила инерции, которая должна быть учтена при век-

торном суммировании действующих на тело сил.

ИНЕРЦИАЛЬНАЯ : НЕИНЕРЦИАЛЬНАЯ :

F_i=ma F_i-ma0

В конечном итоге мы получаем математически эквивалентные уравнения движения, а предпочтение СО или НСО определяется лишь степенью простоты или наглядности при получении уравнения движения.

4.6 Центробежная сила инерции

К неинерциальным системам отсчета часто прибегают при рассмот-

рении вопросов вращательного движения. Хорошо известно явление,

когда на больших оборотах разваливается на куски массивный махо-

вик. Говорят, что он разрушился под действием "центробежных сил."

Понятие центробежной силы применимо лишь к неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с вращающимся телом.

Рассмотрим простой пример вращения шарика, удерживаемого веревкой, вокруг точки 0. На шарик действует сила натяжения веревки

в СО и кроме того центробежная сила инерции -- в НСО :

ИНЕРЦИЛЬНАЯ : НЕИНЕРЦИЛЬНАЯ:

F_н= ma_ц F_н+F_ин=0

F_н= m²/R F_ин=-m²Rn

n -- единичный вектор, направленный к центру вдоль радиуса.