4. Определение эластичности.

Эластичностью E_D спроса D(p) называется относительное изменение спроса D/D при относительном изменении p/p цены товара:

5. Функция спроса и ее функции

U (X₁; X₂) -> max p₁x₁ +p₂x₂ = I

П олучаем систему: u’_x1 : u’ _x2 = p₁ : p₂

p₁x₁ +p₂x₂ = I

решения: x₁ = 0 и х₂ = 0- функции от параметров p₁; p_2; I

x₁⁰ = x₁⁰(p₁; p_2; I)

x₂⁰ = x₂⁰ (p₁; p_2; I) – функции спроса на первый и второй продукты

Однородность нулевой степени относительно цен или доходов, т.е. значение функции спроса, инвариантны по отношению пропорционал. изменению цен и дохода. Однородность   нулевой   степени  данных функций означает, что если все  цены  и  доход  потребителя

изменятся в одно и то же число раз, то количество каждого из благ, покупаемых потребителем на рынке, останется неизменным

т.е. x₁⁰ (α p₁; αp₂; αI) = - x₁⁰ = x₁⁰(p₁; p_2; I)

x₂⁰ (α p₂; αp₂; αI) = - x₂⁰ = x₂⁰ (p₁; p_2; I)

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении второго продукта приводит к росту потребления оценки

U (X₁¹; X₂) > U (X₁²; X₂) X₁¹ > X₁² δU : δX_i > 0

2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потрбления увеличивается (вторая производная < 0)

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если увеличивается количество другого продукта, в том случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается дефицитным. ( U₁₂’’ >0; U₂₁ >0)

6. Свойства эластичности.

1) Эластичность безразмерная величина.

2) Эластичность в т. х₀ суммы конечного числа положительных функций y_i=f_i(x) (i=1,2,...n) удовлетворяет неравенству

Emin ≤ Ey ≤Emax, где: Emin и Emax- минимальная и максимальная эластичность функции f_i(x) в т. х₀.

3) Эластичность произведения функций U(x) и V(x) равна сумме эластичностей этих функций в т. х₀

EUV=EU+EV.

4) Эластичность частного функций U(x) и V(x) в т. х₀(V(x₀)¹₀) равна разности эластичностей этих функций в т. х₀

EU/V=EU-EV.

5) Эластичность сложной функции y=f(j(x)) в т. х₀

Ey=Ef(j₀)×Ej(x₀) где: j₀=j(x₀).

6) Эластичность прямой х=х(t) и обратной t=t(x) функций удовлетворяют равенству

Ex(t₀)×Et(x₀)=1, здесь х₀=х(t₀).

7. Сформулировать и решить задачу потребительского выбора с двумя переменными.

Рассмотрим рынок, на котором продаются товары n видов. Пусть p1, p2, …, pn — цены этих товаров, вектор p=(p1 p2 ⋯ pn) – вектор цен.

Пусть некоторый потребитель обладает богатством M ден. ед., и xi —это количество единиц i-го товара, которые данный потребитель приобретает на рынке (i = 1, 2, …, n).

координаты которого неотрицательны и соответствуют приобретаемым количествам товаров каждого вида, называется набором товаров,

а множество всех наборов товаров называется пространством товаров (поскольку на наборы товаров не налагается ограничений целочисленности, здесь предполагается, что можно приобрести произвольное — целое или дробное — количество любого товара, т. е. что все товары являются безграничноделимыми).

Стоимость набора товаров x равна,

Бюджетное множество B — это множество наборов товаров x ∈C , которые может себе позволить приобрести при данных ценах p1, p2, …, pn потребитель, обладающий богатством (при этом предполагается, что тратить все деньги необязательно).

Теорема о бюджетном множестве. Бюджетное множество является выпуклым, ограниченным и замкнутым.

Потребитель различает наборы товаров: один набор товаров он может считать для себя более предпочтительным, чем другой, два каких-то других набора товаров он может считать равноценными.

Задачей потребителя является максимизация полезности при минимизации затрат:

(1)

,где I – бюджетное множество, а p – цены.

Условная оптимизация производиться с помощью функции Лагранжа:

,где (1) L  max.

Пример: Пусть имеется 2 товара: c с ценами . Полезность товаров для потребителя выражена формулой

Решение:

  

  