Соударение твердого тела и системы с одной степенью свободы

Задача соударения различных механических систем часто встре­чается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение.

Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения.

Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содер­жащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волно­вых процессов по контуру в зоне контакта, и интерферен­ционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, приме­няется упрощенный инженерный подход, основанный на следую­щих упрощающих предпосылках.

При взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

С применением энергетического подхода рассмотрим соударе­ние падающего груза массой М с высоты h на систему с одной сте­пенью свободы (рис. 8.5). Считаем, что масса балки m сосредо­точена в месте соударения.

Рис. 8.5

Энергетический подход является наиболее предпочтительным в тех случаях, когда требуется определить только максимальные зна­чения напряжений, динамических прогибов и не ставится задача определения законов движения заданной системы.

Составим энергетический баланс заданной системы в момент возникновения максимальных прогибов балки:

К₀ + П = U + К, (8.8)

где  кинетическая энергия пада­ющего груза в момент соударения с балкой; П = (М + m)gy_max работа внешних сил на перемещение y_max;  потен­циальная энергия деформации балки; К  кинетическая энергия системы при y = y_max.

Так как в состоянии наибольшего отклонения балки, y = y_max, , то для указанного момента времени К = 0. С учетом вышеизложенного (8.8) принимает вид:

, (8.9)

или

. (8.10)

Величина ₁₁  прогиб, который получила бы балка под дейст­вием единичной статической силы, приложенной в месте удара. Следовательно, y^CТ = Mg₁₁ представляет собой прогиб который получила бы балка под действием статически прикладываемой си­лы, равной весу падающего груза G = Mg. Тогда уравнение (8.10) можно представить в виде:

.

Из решения последнего уравнения получаем:

. (8.11)

Отсюда, учитывая, что коэффициент динамичности определяет во сколько раз максимальный прогиб при динамическом нагру­жении больше прогиба, возникающего при статическом характере приложения нагрузки, получим:

. (8.12)

Величина коэффициента динамичности , как показывает вы­ражение (8.12), зависит главным образом от жесткости рассмат­риваемой системы в направлении удара и от кинетической энергии падающего груза в момент соударения.

Для упругих систем динамические напряжения и остальные внутренние силовые факторы определяются по той же схеме, как и прогибы. Например, для напряжений, имеем:

^ДИН =   ^CТ . (8.13)

В тех случаях, когда масса балки m мала, по сравнению с мас­сой груза M, из (8.12), принимая m = 0, получим:

. (8.14)

В частности, если груз прикладывается на упругую систему мгновенно, тогда задавая h = 0 из (8.14), коэффициент динамичности принимает значение  = 2.

24

Механические свойства материалов при ударе

Для проверки способности материала сопротивляться ударным нагрузкам применяют особый вид испытаний ударным изгибом — определение ударной вязкости надрезанных образцов. Эти испытания проводят на маятниковых копрах (рис. 16.13).

Рис. 16.13. Маятниковый копер

На рис. 16.14 показаны применяемый при испытании образец и направление удара бойка маятника. Разность высот положения маятника до и после удара позволяет вычислить работу A, израсходованную на разрушение образца.

Рис. 16.14. Образец для испытаний

Ударной вязкостью материала KC называется величина работы разрушения образца, отнесенная к площади поперечного сечения в месте надреза:

(16.51)

Хотя данные об ударной вязкости не могут быть использованы при расчете на прочность, но они позволяют оценить особое качество металла — его склонность к хрупкости при динамических нагрузках в условиях сложного напряженного состояния в области надреза и решить вопрос о применимости того или иного материала для данных условий работы. Именно в таких условиях работают многие детали машин, имеющие отверстия, канавки для шпонок, разные входящие углы и т. п.

Низкая ударная вязкость служит основанием для браковки материала. Стали, применяемые для изготовления деталей, работающих при динамических нагрузках, должны иметь ударную вязкость .

Ударная вязкость одной и той же стали зависит от ее структуры, причем, зависимость эту при статических испытаниях обнаружить невозможно. В табл. 16.1 приведены результаты определения ударной вязкости для мелкозернистой и крупнозернистой сталей марки Ст2 (0,15 % углерода). Эти стали, имеющие почти одинаковые пластические свойства при статических испытаниях, сильно отличаются по ударной вязкости.

Таблица 16.1

Материал	МПа			Ударная вязкость, Дж/м^2
		%
Сталь мелкозернистая Сталь крупнозернистая	375 345	35,3 36,9	72,2 66,7	13,1?10^5 13,1?10^5

При низких температурах большинство черных металлов становятся хрупкими, ударная вязкость их также снижается. Для таких металлов ударными испытаниями с постепенным понижением температуры удалось установить так называемую критическую температуру хрупкости — температуру, при которой происходит резкое уменьшение ударной вязкости металла. Критическая температура хрупкости различных металлов различна. Ниже этой температуры металл становится непригодным для работы при динамических воздействиях.

Ударная хрупкость может появляться и при повышенных температурах, например, ударная вязкость углеродистых сталей значительно снижается в интервале температур 200—550 °С.

25

Усталость материала — в материаловедении — процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных (часто циклических) напряжений, приводящий к изменению его свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению материала за указанное время^[1].

Обратное свойство материала называется выносливостью (свойство материала воспринимать переменные (циклические) нагрузки без разрушения указанное время). Кроме того это понятие близко связано с прочностью, существует понятие усталостной прочности.

Выносливость измерима, существуют методики её измерения.

Выносливость, так же как и прочность, для многих материалов сильно зависит от температуры, это явление получило название хладноломкость.

Перейти к: навигация, поиск

Преде́л выно́сливости (также преде́л уста́лости) — в науках о прочности: одна из прочностных характеристик материала, характеризующих его выносливость, то есть способность воспринимать нагрузки, вызывающие циклические напряжения в материале.

Предел выносливости определяется, как наибольшее (предельное) максимальное напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца после произвольно большого числа циклических нагружений.

Предел выносливости обозначают как , где коэффициент R принимается равным коэффициенту асимметрии цикла. Таким образом, предел выносливости материала в случае симметричных циклов нагружения обозначают как , а в случае пульсационных как .

Для железистых и титановых сплавов можно установить предельную величину максимальных напряжений цикла, при которых материал не разрушится при произвольно большом числе нагружений. Однако другие металлы, такие как медь или алюминий, подвержены усталостному разрушению под действием сколь угодно малых нагрузок. В таких случаях принято говорить об ограниченном пределе выносливости , где коэффициент N соответствует заданному числу циклов нагружения, и обычно принимается за или циклов.

26

Факторы, влияющие на величину предела выносливости.

1) Влияние концентрации напряжений.

Резкие изменения формы детали, отверстия, выточки, разрезы снижают предел выносливости. Это учитывается экспериментальным эффективным коэффициентом концентрации напряжений.

K_ = _-1 / _-1K

_-1K  предел выносливости образца с концентратором напряжений

_-1  для симметричного цикла без концентратора.

Как правило K_ < 2,5.

2) Влияние абсолютных размеров детали.

Опыты показывают, чем больше размеры детали, тем меньше предел выносливости. Это учитывается коэффициентом  мастабным фактором

_ = (_-1)_d / (_-1)_d0

d₀  диаметр эталонного образца d₀  6 ... 12 мм.

При отсутствии данных _  _

3) Влияние качества поверхности.

Опыты показывают, что плохая обработка поверхности детали снижает предел выносливости. Оценивается влияние качества поверхности коэффициентом

 = _-1п / _-1

где _-1  предел выносливости полированного образца.

Различные способы поверхностного упрощения (наклеп, цементация, азотирование, закалка ТВ4) сильно повышают  и он может достигать =3.

С учетом совместного влияния перечисленных факторов предел выносливости реальной детали

(_-1K)_d = _-1 / K_

Зная максимальное напряжение симметричного цикла, при котором должна работать данная деталь, можно найти запас прочности усталости

n_ =  (_-1K)_d / _max

и аналогично при кручении

n_ =  (_-1K)_d / _max

При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса прочности

n = n_n_ /  _(n_² - n_²)

27 При асимметричных циклах нагружения материалы обычно не испытывают. Влияние подобных нагрузок учитывают в расчетах с помощью коэффициентов. В большинстве расчетов прочность деталей при циклических переменных нагрузках определяют по пределу усталости. Однако иногда необходимо рассчитать прочность детали при низкой частоте или ограниченном числе циклов

31

Косой изгиб

Косым изгибом называется вид нагружения, при котором плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных осей сечения.

Напряжения и перемещения при косом изгибе найдем, используя принцип независимости действия сил. Косой изгиб рассматривается при этом как одновременный изгиб в 2-х плоскостях zx и zy. Для этого изгибающий момент М_изг раскладывается на составляющие моменты осей х и у.

М_х=М_изгsin a, М_у=М_изг cos a

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения могут быть вычислены как алгебраическая сумма напряжений, возникающих от моментов M_x и M_y:

Сигма= М_изг((у/J_x)sin a + (x/J_y)cos a)

a - угол отклонения плоскости действия M от вертикали.

Если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор сигма, то концы векторов, как и при простом изгибе образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии в сечении найдем, полагая сигма=0:

У=-х(J_x/J_y) ctg a

При косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента.

28

Предел выносливости при симметричном цикле

Усталостная прочность - это прочность материала при циклическом нагружении. Усталостная прочность измеряется как и напряжение в [MПa]. Усталостная прочность обычно меньше в два или более раз чем предел прочности.Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжениях называют выносливостью.

Расчетом на выносливость (или расчетом на усталостную прочность) называют проверку прочности элементов конструкции при многократном действии переменных напряжений.

На рисунке сигма_r-предел выносливости,

N-число циклов

r-чувствительность материалов при симметрии циклов

r=сигма_min/сигма_max

По данным опытов получают так называемую кривую усталости (выносливости). соответствующую симметричным циклам (R = — 1). Аналогично могут быть получены кривые усталости, соответствующие циклам с другими значениями коэффициента асимметрии R.

Разрушение материала при однократном нагружении происходит в тот момент, когда возникающие в нем напряжения равны пределу прочности . Следовательно, кривые усталости при N = 1 имеют ординаты  равные .

Кривая выносливости показывает, что с увеличением числа циклов уменьшается максимальное напряжение, при котором происходит разрушение материала.

Наибольшее (предельное) максимальное напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца из данного материала после произвольно большого числа циклов, называют пределом выносливости.

Таким образом, предел выносливости равен ординате асимптоты кривой усталости. Его обозначают  при симметричном цикле коэффициент асимметрии R = — 1 и предел выносливости при этом цикле обозначают .

29

Сложным сопротивлением называются виды нагружения, при которых в поперечных сечениях одновременно действуют несколько внутренних силовых факторов.

Рис.7.1

 

Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), при которых в сечениях элементов конструкций возникал только один внутренний силовой фактор (рис.7.2): нормальная сила N - при растяжении, изгибающий момент М_z - при чистом изгибе, крутящий момент М_x - при кручении. Эти виды нагружения, растяжение, изгиб, кручение, являются простыми.

Рис.7.2

 

Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 7.1

Таблица 7.1

Виды нагружения	Напряжения	Деформации
Растяжение	. Условие прочности:
Изгиб	. Условие прочности:
Кручение	. Условие прочности:

 

Но при сложном сопротивлении должен быть применим принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).

Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны линейной зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится неприменимым, если:

- напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил превышают предел пропорциональности ;

- деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается линейная зависимость между ними и нагрузкой.

Например, дифференциальное уравнение изгиба стержня является нелинейным и вытекающая из него зависимость прогиба f от нагрузки Р для консольной балки, изображенной на рис.7.3, а, также является нелинейной (рис.7.3,

30