3.Однопродуктовая статическая модель с дефицитом

В отличие от предыдущего пункта в данной модели предполагается, что цена на товар величина постоянная. Допускается дефицит. Как и ранее товар поставляется партиями через некоторые промежутки времени . Интервал [0;C] длиной  делится на два (смотри рис.3). В течение первого интервала [0;A) длительностью ₁ непрерывный спрос интенсивностью  удовлетворяется из запаса, имеющегося на складе. В течение второго интервала [A;C] длительностью ₂ спрос не удовлетворяется. Накопленный неудовлетворенный спрос покрывается немедленно при поступлении следующей партии товара. За несвоевременную поставку товара взимается штраф.

Штраф может толковаться и как штрафные санкции, и как упущенная прибыль. Будем предполагать, что взимается p денежных единиц за единицу недопоставленного товара в течение единицы времени.

y K - стоимость оформления заказа;

t*- время выполнения заказа;

B h - стоимость хранения единицы товара в единицу времени;

  длина интервала [0, C] между поставками;

H-суммарные затраты на периоде между поставками ( [0;C]);

А С ₁  длина интервала [0, A];

₂  длина интервала [A, C].

0

D E

Обозначим: y  объем заказываемой партии (длина отрезка [D;B]); q  максимальное количество товара на складе (длина отрезка [0;B]). В рассматриваемой задаче нужно выбрать два параметра: y и q. Цель – минимизация суммарных затрат в единицу времени.

Можно найти суммарные затраты на периоде от момента поставки товара до следующего момента поставки. Затем разделить их на длину периода и получить суммарные затраты в единицу времени.

Выразим величины ₁ и ₂ через величину . Из подобия треугольников DBE, 0BC и ACE получаем: . Следовательно, ; (8)

На рассматриваемом интервале [0, C] только в течение интервала [0, A] на складе имеется запас товара и, следовательно, затраты по хранению товара. Аналогично, только на интервале [A, C] имеется дефицит и затраты связанные с ним. Как и в предыдущей задаче, средний уровень запаса на складе на интервале [0, A] равен q/2 . Средний уровень дефицита в течение интервала [A, C] равен (y-q)/2 . Тогда затраты на хранение и потери от дефицита на отрезке [0, C] будут, соответственно, следующие:

, .

Суммарные затраты на отрезке [0, C] будут состоять из этих затрат и затрат на оформление заказа. Заменяя ₁ и ₂ из соотношения (8), получим . (9)

Найдем суммарные затраты в единицу времени, разделив величину H на длину рассматриваемого интервала  (как и в предыдущей задаче  =y/).

. (10)

Запишем необходимое условие минимума.

; .

Разрешая данные уравнения относительно y и q, получаем:

; . (11)

При этом длина периода и минимальные суммарные затраты будут задаваться соотношениями

; . (12)

Отметим, что при этом ,

т.е. отношение стоимостей хранения и стоимости дефицита единицы товара в единицу времени обратно пропорционально отношению максимального объема запаса и максимального объема дефицита.

Найдем теперь точку заказа R. В отличие от предыдущей модели в момент заказа на складе может либо быть некоторое количество товара, либо накоплен некоторый объем дефицита. Поэтому под точкой заказа будем понимать объем либо товара, либо дефицита при котором нужно делать новый заказ. Так же как и в модели без дефицита, нужно для оптимального объема заказа y^* определить величину ^* (смотри (12)). Затем найти число m равное целой части от деления t^* на ^* и число t_* = t^* - m^* . Тогда точку заказа можно найти из соотношения

(13)

Первая строчка соответствует точке заказа равной объему товара, при котором нужно делать новый заказ, а вторая объему дефицита.