§6.Идеалы кольца. Фактор-кольцо

Опр. Пусть (А,+,*)-акс1. В непустое подмножество множества А. Тогда В называется

идеалом кольца А, если:

1) (В,+)-аддитивная абелева группа

2) ∀b∈B a ∀ ∈A a*b∈В - замкнутость мн-ва В отсносительно умножения на любой

элемент кольца А.

Теорема 6.1. (критерий идеала)

Пусть (А,+,*)-акс1. В непустое подмножество множества А.В-идеал кольца А x,y В x-y В ⇔∀ ∈ ∈

(критерий подгруппы B≤A) b B a A a*b В (усл.опр.идеала) ∀ ∈ ∀ ∈ ∈

Опр.Идеал В={ax/x A}, a В, называется ∈ ∈ главным идеалом к.А.

Пусть (А,+,*)-акс1, В∆А(В идеал А)

(B,+). т. к. В подгруппа А, (А,+)-группа, то (B,+)≤ (А,+)

Теорема 6.2. Всякая подгруппа абелевой группы является нормальным делителем этой

группы.

(G,*)-аб.гр., H≤ G Н норм. подгруппа группа G ⇒

Доказательство:

Н-норм.подгруппа группы G х G x*H=H*x (по определению нормальной подгруппы) ⇔ ∀ ∈

Так как (G,*)-аб.гр., то х,y G x*y=y*x ∀ ∈

Так как Н подмножество G, то х G h H x*h=h*x ∀ ∈ ∀ ∈ x*H=H*x Н нормальный делитель ⇒

G (H∆G)

(G,*)-аб.гр.,H∆G Н нормальная подгруппа G. ⇒

По теореме 6.2, В∆А существует (A/ ⇒ B,+)-факторгруппа

A/B={x+B}х A∈ x+В,y+В A/ ∀ ∈ B

(x+В)+(y+В)=(x+y)+В

Операция сложения классов смежности A/B.

0+В=В-нейтиральный элемент относительно «+» кл-в, (-х)+В-симметричный элемент для

х+В отсносительно «+»

Введем на множестве A/B операцию умножения смежных классов следующим образом.

∀ ∈ х+В,y+В A/B (x+B)(y+B)=x*y+B

1. (,+)-аддитивная абелева группа

2. (,*)-группоид (что бинарная операция) х+В,y+В A/ ∀ ∈ B ∃ ∈ !z+B A/B z+В=(x+B)(y+B)

Так как умножение смежных классов сводится к умножению элементов кольца А, а

умножение в кольца А является бинарной операцией, то z+В=xy+B существует и

определяется единствненным образом в A/B⇒ «*»-бин.операция в A/B⇒ (A/B,*)-группоид

3. Дистрибутивность «*» относительно «+» в A/B:

слева: х+В,y+В,z+B A/ ∀ ∈ B (x+B)*[(y+B)+(z+B)]]=(x+B)(y+B)+(x+B)(z+B)

докажем: (x+B)*[(y+B)+(z+B)]]=(x+B)((y+z)+B)=x(y+z)+B=(xy+xz)+B=(x+B)(x+B)+

(x+B)*(z+B)

справа: х+В,y+В,z+B A/ ∀ ∈ B [(x+B)+(y+B)](z+B)=(x+B)(z+B)+(y+B)(z+B)

доказать самостоятельно

1.,2.,3., (A/ ⇒ B,+,*)-кольцо

4. (A/B,+,*)-ассоциативное кольцо. (х+В),(y+В),(z+B) A/ ∀ ∈ B

[(x+B)(y+B)](z+B)=(z+B)[(x+B)(y+B)] (доказать самостоятельно)

5. (A/B,+,*)-коммутативное кольцо (х+В),(y+В) A/ ∀ ∈ B (x+B)(y+B)=(y+B)(x+B)

6. Существует нейтральный элемента относи «*» в A/B:

∃Е∈A/B x+B A/ ∀ ∈ B (x+B)E=E(x+B)=x+B, E=1+B A/ ∈ B

(x+B)(1+B)=(x*1)+B=x+B

(1+B)(x+B)=(x*1)+B=x+B

⇒ ⇒ (x+B)(1+B)=(1+B)(x+B)=x+B E=1+В -нейтральный элемент относительно «*» в

A/B.

4.,5.,6. (A/ ⇒ B,+,*)-акс1

Опр. Кольцо (A/B,+,*)-акс 1 называется фактор кольцо кольца А по идеалу В.

§7.Понятие поля. Поле комплексных чисел

Опр. Пусть (А,+,*)-акс1. Тогда (А,+,*) называется полем если

1)σ(А) ≥ 2 (число элементов не меньше 2)

2)Все ненулевые элементы обратимы в А: а≠0 А а ∀ ∈ ∃

-1

∈А a*a

-

1=a

-1

*a=1

Пример. (Q,+,*),(R,+,*),(C,+,*)-поля.

Замечание: (Z/(m),+,*)-поле m-просток. ⇔

Теорема 7.1. (C,+,*)-поле. Доказательство:

Рассмотрим операции +,* компл.ч.

∀ ∈ a+bi,c+di С

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)

(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)

I (C,+,*)-акс1

1)(C,+)-абелева группа

а)(C,+)-группоид

∀ ∈ a+bi,c+di С !x+iy ∃ ∈С x+yi=(a+bi)+(c+di)

x+yi=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

x=a+c R∈

y=b+d R∈

Так как сумма комплексных чисел сводится к сложению действительных чисел, то по

свойству действительных чисел, то существует и единств, следовательно x+iy ! ∈ С.

Сложение-б.о.в С, следовательно С-группоид.

б)(C,+)-полугруппа.

∀a1+b1i,a2+b2i,a3+b3i∈С

((a1+b1i)+(a2+b2i))+(a3+b3i)=(a1+b1i)+((a2+b2i)+(a3+b3i))

Так как умножение комплексных чисел сводится к умножению и алгебраическому сложению

действительны.