МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

___________________________

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

В.П. БАКАЛОВ

ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

Утверждено

на заседании редсовета

7 Сентября 2000 г.

Москва

Издательство МАИ

2001

621.396.6.(075)

Б 19

УДК: 621.396.6:519.876.5 (075.8)

В.П. Бакалов. Цифровое моделирование случайных процессов: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 2001. – 84 с.: ил.

В пособии рассмотрены методы цифрового моделирования одномерных случайных процессов, заданных в общем виде, с заданными корреляционными свойствами, с одновременно заданными корреляционными свойствами и одно­мерной плотностью вероятности.

Пособие предназначено для студентов стар­ших курсов факультета "Радиоэлектроника ЛА".

Рецензенты: В.Г. Сергеев, В.В. Сокольский

ISBN 5-7035-2441-5 © Московский государственный авиационный институт

(технический университет), 2001

Предисловие

При автоматизированном проектировании возникает необходимость моделирования случайных процессов. Содержание учебного пособия соответствует разделу курса “Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС”.

Требуемые для работы с пособием теоретические сведения о случайных процессах соответствуют курсу “Радиотехнические цепи и сигналы” [5].

В пособии приводятся методы моделирования случайных процессов с заданной многомерной плотностью вероятности. Такая постановка задачи моделирования случайного процесса имеет важное методическое значение, так как является самой общей, т.е. к ней может быть сведена любая другая задача. В практике моделирования наиболее часто встречается задача моделирования процессов, для которых заданы лишь корреляционные свойства; в соответствии с этим основная часть пособия посвящена моделированию таких процессов, в особенности стационарных. Методы моделирования случайных процессов с заданными корреляционными свойствами являются основой для понима­ния всего комплекса задач и методов их решения при цифровом моделирова­нии случайных процессов.

В пособии кратко рассмотрено моделирование стационарных процессов с одновременно заданными корреляционными свойствами и одномерной плотностью вероятности.

Цифровое моделирование случайных процессов предполагает использование независимых случайных величин. Способы построения датчиков случайных чисел для генерации таких величин с любыми требуемыми законами распределения рассматриваются в другой части курса “ Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС ”.

1.Моделирование случайных процессов с заданной многомерной плотностью вероятности

Самый общий случай задания случайного процесса  задание характеризующей его многомерной плотности вероятности

В дальнейшем для сокращения записи будем использовать выражение для многомерной плотности вероятности в виде . Так как моделируемый случайный процесс является функцией континуального аргумента, то для полного описания этого случайного процесса величина должна была бы быть бесконечно большой, что невозможно. Практически, чем больше величина , тем более детально статистическое описание случайного процесса . При цифровом моделировании величина представляет число отсчётов моделируемого случайного процесса. Так как память вычислительного устройства ограничена, то при цифровом моделировании описание случайного процесса с помощью многомерной плотности вероятности (где требуемое при моделировании число отсчётов) является полным. Фактически при этом случайный процесс представляется случайным вектором с компонентами и моделирование случайного процесса можно рассматривать как моделирование совокупности случайных величин или случайного вектора с заданной многомерной плотностью вероятности. На рис. 1.1 представлены несколько реализаций случайного процесса ; реализация с номером обозначается , время моделирования случайного процесса обозначено .

На рис. 1.2. показана одна реализация случайного процесса с номером и дискретные отсчеты, которые должны быть определены при цифровом моделировании.

Дискретный отсчет реализации с номером для момента времени обозначается . Если из контекста ясно, что речь идет о реализации случайного процесса, то индекс может опускаться.

Совместная плотность вероятности удовлетворяет условию положительности: , условию нормировки:

,

(1.1)

условию согласованности:

.

(1.2)

По плотности вероятности могут быть определены условные плотности вероятности:

,

(1.3)

п ри этом числитель и знаменатель (1.3) определяются в соответствии с (1.2).

Цифровое моделирование случайного процесса , заданного с помощью многомерной плотности вероятности , на практике встречается редко. Однако важно, что такое описание случайного процесса является самым полным, и поэтому любой случайный процесс может быть описан таким образом, а значит, если существует метод моделирования при описании случайного процесса с помощью многомерной плотности вероятности , то этот метод может быть использован для моделирования любых случайных процессов. Конечно, такое моделирование не всегда целесообразно, так как для часто встречающихся случайных процессов, например нормальных, разработаны более эффективные в смысле экономии машинных ресурсов методы.

Моделирование случайных процессов должно быть сведено к моделированию случайных независимых величин. Моделирование независимых случайных величин с любыми законами распределения осуществляется с помощью датчиков случайных чисел. Способы построения датчиков случайных чисел рассматриваются в другом курсе.

Известны два метода цифрового моделирования случайных процессов с заданной многомерной плотностью вероятности .