1.9. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи дифференциального уравнения 1-ого порядка.

(1) y'=f(x,y) ⁽¹⁾

(2) y(x₀) = y₀ ⁽²⁾

предположение относительно f(x,y) :

1) f(x,y) - непрерывна в замкнутой области R,

|x-x₀| <a

|y-y₀| <b , a,b > 0

2) f(x,y) удовлетворяет в области R относительно "у" условию Липшица:

N>0 (x,y₁),(x,y₂) R : |f(x,y₁) - f(x,y₂)| <= N |y₁-y₂|

N - постоянная Липшица

если выполняются эти 2 предположения то единственное решение y=ф(х) определенного и непрерывного на |x-x₀|<n , n=min(a,b/m) /* m<|f| в R */, такое что y(x₀)=y₀

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

проверить что такое ф(х ) и че это вообще за срань

1.10. Метод последовательных приближений.

(1) y'= f(x,y) ⁽¹⁾

(2) y(x₀)=y₀ ⁽²⁾

з аменим (1) и (2) эквивалентной ей задачей

(3) y(x)=y₀ + f(t,y(t)) dt ⁽³⁾

Док-во

покажем эквивалентность

y(x) - решение (1) и (2)

dy = f(x,y) dx

воспользуемся условием 2 (каким?????????????)

y(x) = y₀ + f(x,y) dx = (3)

обратное док-во

y(x) - решение(3)

под стоит непрерывная фнк рассмотрим по переменному пределу(оО ?????) =>

означает непрерывную и дифф-ую фнк верхнего предела

y'(x)=0 + f(x,y(x)) -> получили (1)

подставим в (3) x->x₀

y(x₀)=y₀ + 0 -> получили (2)

формула последовательного приближения

y₁(x) = y0 + f(t,y₀(t)) dt

y₂(x) = y0 + f(t,y₁(t)) dt

y_n(x) = y0 + f(t,y_n-1(t)) dt - сходится к решения задачи Коши (1),(2)

1.11. Особые точки и особые решения.

Особая точка - точка в окрестности которой нарушается условие единственности решения

линия из особой точки - особая линия

если особая линия удовлетворяет ур-ю то она называется особым решением(ОР)

Способы нахождения ОР

1) находим линии где f/ y

2) нахождение дискрименантной кривой

F(x,y,y')=0

F(x,y,y') / y' = 0

если такая кривая будет найдена то нужно проверить условие касания

y₁(x) = y₂(x)

y₁'(x) = y₂'(x)

3) Ф(x,y,c) =0 - семейство решений

Ф / С =0 - y=ф(х) - огибающая семейство решений

если такая огибающая будет найдена то нужно проверить условие касания

y₁(x) = y₂(x)

y₁'(x) = y₂'(x)

фишка этого метода в том что мы имеет решение и можем найти особые решения, не имея исходного уравнения

1.12. Уравнения, неразрешенные относительно производной.

это ДУ в которых нельзя выразить старшую степень производной в одну из частей ур-я

б) метод введения параметра :

p= y' заменяется везде и потом находить р и подставляется в исходное ур-е , что обусловливает получение ответа

ур-я Лагранжа :

y= x*f(y') + k(y')

решаются методом введения параметра

ур-я Клеро :

y= x*y' + k(y')

решаются методом введения параметра

!!!! не забывать проверять ОР и условия касания

2.1. Уравнения, допускающие понижения порядка.

2.2. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

by Филипов: ( но чует моя жопа что это не то)