45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.

Пусть функции f(x) и g(x)

3. непрерывны на отрезке [a, b];

4. дифференцируемы в интервале (a, b);

"x О (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

  .

Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

№46 Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x), удовлетворяющий условиям: .

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:

аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:

Пример:

№47Разлож ф-цию по формуле Маклорена до .

№48 Разложите ф-цию по формуле Маклорена до .

№49 Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .

Пусть . Расстоянием между a и b называется число . Расстояние между точками удовлетворяет следующим свойствам:

1. и

2. 

3. 

Доказательство 1 и 2 очевидно. Докажем 3. доказательство носит название «неравенство треугольника». Заметим, что пара точек определяет вектор .

Проведём серию равносильных преобразований

№50 Дайте определение открытого множества в . Явл ли множество замкнутым?

Множество D называется открытым, если все его точки внутренние (замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки).

Данное множество нельзя назвать замкнутым, так как оно не включает свою граничную точку «0».

№51 Дайте определение замкнутого множества в . Является ли множество замкнутым.

Множество {M} называется замкнутым, если все граничащие точки принадлежат этому множеству. Данное множество нельзя назвать замкнутым, так как оно не включает свою граничную точку «0».

№52 Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры множества а) содержащего все свои предельные точки; б) для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.

Точка М₀ называется предельной точкой множества {M}, если в любой ее окрестности существуют точки множества {M}, отличные от М₀

А) - множество, содержащее все свои предельные точки

Б) является предельной, но множеству D не принадлежит (множество, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая)

№53 Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ?

Последовательность точек {M_n}пространства Rⁿ называется сходящейся, если существует такая точка А, что  >0, N, nN, все точки этой последовательности будут сходиться в -окрестности точки А:  (M_n ;A)< 

последовательность сходится к точке (1,1)

№54 Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Найдите предел ф-ции в точке (0,0).

b- предел функции f(M) в точке А, если  >0,  >0, что  M, принадлежащей {M_n} из -окрестности точки А, т.е.  (M;A)< , что выполняется неравенство: |f(M) - b| <,

limf(M)=b MA

по теореме о произведении бесконечно малой на ограниченную ф-ции.

№55 Докажите, что ф-ция не имеет предела в точке (0,0).

Рассмотрим 2 последовательности точек из D(f), сходящихся к точке (0,0).

Тогда рассмотрим последовательность

По определению предела данной ф-ции в точке (0;0) не существует.

№56 Дайте определение ф-ции двух переменных, непрерывной в точке. Является ли ф-ция непрерывной в точке (1,0)?

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел этой функции существует и равен значению функции в этой точке: limf(M)=f(A) MA

непрерывна в точке (1,0)?

№57 Дайте определение частной производной ф-ции f(x,y) по y в точке . Найдите , если

Частной производной по у функции z=f(x;y) называется предел отношений приращения ∆_yz к приращению ∆у, при ∆у→0.

Zَx= =lim(x₀ ; y₀+∆y)-f(x₀ ;y₀)/∆y, x=const

№58 Дайте определение дифференцируемости ф-ции f(x,y) в точке. Докажите, что если ф-ция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Ф-ция z= f(x,y) называется дифференцируемой в точке M, если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , где - б.м. ф-ция при .

=> ф-ция z=f(x,y) непрерывна в точке (х₀;y₀).

№59 Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой ф-ции f(x,y)? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?

№60 Дайте определение градиента ф-ции f(x,y) в точке (х0;y0). Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост ф-ции. Чему равна скорость этого роста?

Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).

Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость равна модулю градиента.

По определению скалярного произведения . Учитывая, что . Из последнего следует, что производная по направлению имеет наибольшую величину при , то есть когда направление вектора совпадает с направлением . Скорость роста равна модулю градиента.

61. Дайте определение однородной функции степени . Является ли функция f(x;y) = (х2 +3ху)/(2х7 у –у8 ) однородной и, если да, то какой степени?

Функция z(x;y) называется однородной степени , если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t^ z(x;y).

Функция f (x, y)= (x²+3xy)/(2x⁷y-y⁸) является ли однородной?

F (tx, ty)= (t²x²+3tx*ty)/(2t⁷x⁷*ty-t⁸y⁸)=t²(x²+3xy)/t⁸(2x⁷y-y⁸)=t^-4(x²+3xy)/(2x⁷y-y⁸)

Следовательно, данная функция является однородной степени -4.