- •Вопрос1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Вопрос 4
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Связь с градиентом
- •Вопрос 7
- •Тейлора формула
- •Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных
- •Вопрос 8
- •Описание метода
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10 Криволинейный интеграл
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Поверхностный интеграл первого рода Определение
- •Параметрическая форма
- •Свойства
- •Поверхностный интеграл второго рода Определение
- •Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
- •Свойства
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными Охлаждение тела
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Уравнения с правой частью специального вида
Вопрос1
Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке
Для любых a, b и c
Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A
Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.
Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a
|
Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).
Если f (x) ≥ g (x), то
В частности, если f (x) ≥ 0, то
Если f (x) ≥ 0 для любого и существует такое, что причем f (x) непрерывна в то
|f (x)| интегрируема на [a; b], причем
Если на отрезке [a; b] m ≤ f (x) ≤ M, то
|
Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произв. точку , ,
Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , т.е.
Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.
Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: .
Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:
Доказательство. По определению производной
где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где
Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при . Таким образом,
Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции .
Формула Ньютона–Лейбница
Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то
Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:
|
(4) |
Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница:
При вычислении определенных интегралов будем записывать: