- •5.2 Вторая гипотеза прочности: гипотеза наибольших удлинений
- •5.3 Третья гипотеза прочности: гипотеза наибольших касательных
- •5.4 Четвертая гипотеза прочности: гипотеза потенциальной энергии
- •Билет37
- •Правила знаков для основных видов деформации
- •Билет42
- •Пределы применимости формулы Эйлера
- •Билет46 Понятие о динамическом действии нагрузки
- •11.2 Удар
- •11.3 Механические свойства материалов при ударе
- •11.5 Влияние конструктивно-технологических факторов на предел усталости
- •49Билет Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Колебания без затухания
- •Билет50
- •12.7 Коэффициент динамичности
- •12.8 Виброактивность и виброзащита
49Билет Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Колебания без затухания
В данном случае и в дальнейшем ограничимся рассмотрением таких колебаний, для которых справедлив закон Гука и принцип независимости действия сил.Рассмотрим простейшую систему, состоящую из груза, подвешенного на вертикально расположенной пружине (рис. 12.6). Влиянием собственного веса пружин пренебрегаем. Направим ось x вдоль оси пружины вниз.За начало отсчета 0 возьмем положение статического равновесия груза Q.
В этом положении пружина растянута на величину = Q/C, где С жесткость пружины. Рассмотрим движение груза в произвольный момент времени t. Отклонение центра массы груза в этот момент от положения статического равновесия вниз обозначим через х. Получаем: ; ; .
При составлении уравнения движения будем исходить из принципа Даламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе применимы соотношения статики при условии, что в число внешних сил включена фиктивная сила инерции, равная произведению массы на ускорение и направленная против ускорения. Полагаем, что скорость dx/dt и ускорение d2x/dt2 совпадают по направлению с отклонением X. При отклонении груза возникает упругая сила Рупр которая стремится вернуть груз в состояние равновесия и потому называется восстанавливающей силой.
Дифференциальное уравнение колебаний получим, спроектировав все действующие силы на вертикальную ось: . Отсюда имеем: ,или ,где .
Решением уравнения (12.3) будет: . (12.5)
где А и В постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий, т.е. от положения груза m = Q / g и его скорости dx/dt в момент времени t = 0.
Если заданы начальная координата груза х0 и начальная скорость 0, то из (12.5) определим: ; .
Полагая и , решение (12.5) можно представить в виде: . Или , где амплитуда колебаний, определяемая формулой: .
Величина 0t + называется фазой колебаний, а величина сдвигом фазы. На основании (12.7) может быть определена из условия tg = х00/0.
Уравнение (12.7) выражает процесс чисто периодического собственного колебания системы. График его представлен на рис. 12.7.
Период колебаний Т определяется из условия, что при увеличении времени t на величину Т аргумент, стоящий под знаком синуса, изменится на 2: .
Период представляет собой время, в течение которого совершается одно колебание. Если Т время одного колебания, то в 2 секунд будет происходить 0 колебаний. Поэтому величина 0 и носит название круговой частоты (в отличие от секундной частоты f = 1/Т): . Круговую частоту часто называют частотой собственных колебаний системы, поскольку она, как это видно из (12.4), зависит не от начальных обстоятельств колебательного процесса, а от величины олеблющейся массы и жесткости системы. Формуле (12.4) можно придать вид: , (12.8)
где g ускорение свободного падения, м/с2; с статическое удлинение пружины под действием груза Q.
Билет50
Логарифмический декремент затухания
Натуральный логарифм отношения следующих друг за другом через период амплитуд характеризует темп колебаний и называется логарифмическим декрементом затухания , равным: .
При не слишком быстром процессе затухания, когда уменьшение амплитуды за цикл значительно меньше самой амплитуды , можно записать: , , (если разложить в ряд и ограничиться, ввиду малости последующих членов, двумя его первыми членами). Тогда: ,
Сравнивая (12.9) и (12.10), имеем: , т.е. логарифмический декремент равен отношению уменьшения амплитуды за один цикл к значению амплитуды этого цикла.
В момент времени, когда перемещение системы достигает максимума, ее полная энергия равна потенциальной энергии: .
Потеря энергии за один цикл составит: .
Относительное рассеяние энергии:
называют коэффициентом поглощения. Сравнивая (12.11) и (12.12), видим, что коэффициент поглощения вдвое больше логарифмического декремента. Другими словами, логарифмический декремент равен половине рассеяния энергии за один цикл колебаний.
Измеряя в нескольких местах записи амплитуды затухающих колебаний 1, i+1 или потерю энергии за цикл по формулам (12.11) и (12.12), можно найти логарифмический декремент и, следовательно, коэффициент затухания .