7. Что такое точечная статистическая оценка? Какие оценки называются несмещенными, эффективными, состоятельными? Приведите пример эффективной оценки.

Пусть - выборка объема n из распределения L.

Статистикой называется сл. вел. вида , где - какая-либо функция от выборочных значений. Точечная статистическая оценка – статистика, предназначенная для оценки параметров распределения.

Статистическая оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание для всех .

Статистическая оценка называется эффективной в некотором классе оценок, если в этом классе при фиксированном объеме выборки она имеет наименьшую среднюю квадратичную ошибку (то есть оценка является эффективной в классе , если для любой оценки выполняется неравенство: ).

Статистическая оценка называется состоятельной, если при .

Пример:

Пример: относительная частота успехов в серии из испытаний по схеме Бернулли есть эффективная оценка вероятности успеха

8. Запишите формулу для несмещенной оценки начального момента произвольного порядка. Докажите несмещенность.

Статистическая оценка называется несмещенной, если для любых допустимых генеральных распределений .

Пусть - генеральный начальный момент. - выборочный момент порядка .

Утверждение: Выборочный начальный момент является несмещенной оценкой генерального момента.

Док-во: , ч.т.д.

9. Сформулируйте теорему Слуцкого и на ее основе докажите теорему о состоятельных оценках центральных моментов.

Теорема Слуцкого. Если для К последовательностей случайных величин

существуют пределы по вероятности , то для , непрерывной в точке выполняется соотношение

Теорема. Если для генерального распределения существует начальный момент порядка 2m , то выборочный момент порядка к - состоятельная оценка для для любого к=1…m.

Доказательство.

- состоятельная оценка для

Пусть дано вероятностное пространство , и - случайные величины. Тогда если ,

где - случайная величина, и ,

где - фиксированная константа, то

и .

Обобщение

Пусть в предположениях классической теоремы имеется непрерывная функция . Тогда

.

Теорема: Если распределение зависит от параметров и при любом допустимом наборе их значений существует начальный момент порядка 2k, тогда оценка методом моментов является состоятельной.

Док-во:

10. Теорема: Если распределение зависит от параметров и при любом допустимом наборе их значений существует начальный момент порядка 2k, тогда оценка методом моментов является состоятельной.

Док-во:

11. Сформулируйте определения распределений χ², Стьюдента и Фишера. Какие из этих распределений являются симметричными?

Опр.: Распределение суммы с k степенями свободы, называется распределением квадратов независимых случайных величин, распределённых по закону N(0,1), и обозначается

Опр.: Распределение отношения с k степенями свободы, где Х и Y- независим., называется распределением Стюдента и обозначается t(k)

Опр.: Распределением Фишера (F- распределение) с и степенями свободы называется распределение отношения:

.

Распределение Стюдента является симметричным

12. Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии распределения χ² с заданным числом степеней свободы n. Докажите соотношение D(x)=2n.

док:

т.к. z не зависимы