- •16. Определение функции, непрерывной в точке.
- •17. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
- •36 Неопределенный интеграл
- •37. Свойства неопределенного интеграла
- •38. Формула замены переменной в неопределенном интеграле
- •48. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.
- •49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченной промежутке
- •50. Расстояние в Rn, свойства расстояния
- •51. Окрестность точки в Rn, внутренние и граничные точки множества
- •52. Открытые и замкнутые множества
- •53. Изолированные и предельные точки множества
- •54. Ограниченные множества
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •70. Градиент. Свойства градиента.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •80. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
- •81. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
- •82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов
- •83.Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
- •84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
- •85. Числовые ряды.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87.Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •107.Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка)
- •106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений.
- •105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернули.
- •104. Уравнения в полных дифференциалах.
- •103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •102.Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения.
- •96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
1. Определение числовой функции. Способы задания функций.
Пусть D – множество на числовой прямой R. Если каждому x∈D поставлено в соответствие единственное число y=f(x), то говорят, что задана функция f. Множество D называют областью определения, а множество E={y∈R | y=f(x), x∈D} – множеством значений. Фукции задаются в аналитическом, графическом и табличном видах.
2. Понятие обратной функции.
Если функция y=f(x) такова, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, то определена обратная функция x=f-1(y).
3. Понятие сложной функции.
Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а u, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является сложной функцией от х, то есть y = f [(x)]=f[j(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).
4. Определение предела последовательности.
Пределом последовательности {xn} называют такое число a, что {xn-a} – бесконечно малая последовательность. Символическая запись lim(n→∞) =a. Последовательность, имеющую (конечный) предел a, называют сходящейся (к пределу a).
5. Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.
Положим lim(n→∞)xn=a; lim(n→∞)yn=b. Тогда
lim(n→∞)(xn+yn)=a+b.
lim(n→∞)(xn*yn)=a*b.
lim(n→∞)(xn/yn)= a/b, b≠0.
Раскрытие неопределенностей – это правило позволяет формально применяя выше перечисленные свойства пределов получить выражение одного из видов:
∞-∞, 0*∞, 1∞, 00, ∞0, ∞/∞, 0/0.
6. Определение ограниченной последовательности.
Дана последовательность {xn}. В случае когда существует положительное число A, что |xn|≤A для всех n, последовательность {xn} называют ограниченной.
7. Определение бесконечно малой последовательности.
Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если для любого (сколь угодно малого) ɛ>0 найдется такой номер n0, что для всякого номера n>n0 выполняется неравенство |xn|< ɛ.
8. Определение бесконечно большой последовательности.
Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если для любого (сколь угодно большого) числа A>0 найдется такой номер n0, что для всякого номера n>n0 выполняется неравенство |xn|>A. Такую последовательность называют еще неограниченной.
9. Определение монотонных последовательностей.
Последовательность {xn} называют:
возрастающей, если xn<xn+1 для всех n;
неубывающей, если xn≤xn+1 для всех n;
убывающей, если xn>xn+1 для всех n;
невозрастающей, если xn≥xn+1 для всех n.
Все такие последовательности называют монотонными.
10. Определение предела функции в точке.
Пределом функции y=f(x) в точке x0 (или при x→x0) называют число a, если для любой последовательности {xn} значений аргумента, сходящейся к x0 (при этом все xn≠x0), последовательность {f(xn)} значений функции сходится к пределу a. Это записывают в виде: limx→x0 f(x)=a.
11. Определение бесконечно малой функции.
Функция f(x) называется бесконечно малой при x→x0, если limx→x0f(x)=0.
12. Определение бесконечно большой функции.
Функция называет бесконечно большой при x→x0, если limx→x0f(x)=±∞.
13. Первый замечательный предел.
limx→0 (sinx/x)=1
14. Второй замечательный предел.
limx→+∞((1+(1/x)^x)=e, limx→-∞f(x)=0.
15. Определения односторонних пределов функции в точке.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве X и пусть x0 – предельная точка для X. Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 (или при x→x0), если для любой последовательности x1, x2,… точек из X, отличных от x0 и сходящихся к x0, соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2),… сходится к числу a.
Если функция f(x) определена справа от x0, точнее, в интервале вида (x0, x0+h), где h>0, то предел f(x) при x→x0 называют правосторонним пределом f(x) в точке x0 и обозначают limx→x0, x>x0f(x), а также limx→x0+0f(x) или даже еще короче f(x0+0). Аналогично определяется и левосторонний предел.
16. Определение функции, непрерывной в точке.
Функция f(x), определнная в некоторой окрестности точки x0, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x0 существует и равен значению в этой точке:=f(x0)
17. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f(x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в этой точке: существуют левосторонний предел limx→a-0f(x) и правосторонний предел limx→a+0f(x) и эти односторонние пределы конечны.
При этом возможны два следующих случая:
Когда левосторонний и правосторонний пределы равны друг другу, такая точка называется точкой устранимого разрыва;
Когда левосторонний и правосторонний пределы неравны друг другу, такая точка называется точкой конечного разрыва.
Функция y=f(x) имеет точку разрыва второго рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует либо существует и равен бесконечности.
18. Определение производной функции в точке.
Производной от функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения ∆y/∆x, когда ∆x→0 (при условии что предел отношения ∆y/∆x существует.)
19. Определение дифференцируемой функции в точке x0 .
f`(x0)=lim∆x→0(∆y/∆x)= lim∆x→0((f(x0+∆x)-f(x0))/∆x)
20. Определение дифференциала функции f(x) в точке x0.
Дифференциалом функции f(x) в точке x0 называется линейная функция приращения ∆x вида f`(x0)∆x.
21. Теорема о производной сложной функции.
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, а функция x=g(t) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(t)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующее равенство:
(d/dt)f(g(t))|t=t0 = f`(x0)*g`(t0) или yt`=(yx`)*(xt`)
22. Теорема о производной обратной функции
Пусть функция y = f(x)монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x0 и f'(x) ≠ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y0 = f(x0) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x0 = f-1(y0) и для ее производной справедлива формула
(f-1(y0))' = 1/f'(x0)
23. Геометрический смысл производной и дифференциала
Производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.
Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Δ x.
24. Уравнение касательной
Касательная задаётся уравнением y = kx + f(x0) – kx0 = f(x0) + k(x-x0)
Т.к. угловой коэффициент касательной k = f’(x0), уравнение касательной имеет вид:
y = f(x0) + f’(x0)(x-x0)
25. Определение эластичности функции
Эластичностью функции y=f(x) в точке x0 называется следующий предел:
Eyx(x0) = limΔx→0 (Δy/y : Δx/x)
Говорят, что Eyx(x0) – коэффициент эластичности y по x.
26. Правило Лопиталя.
Пусть A – число, символ одностороннего предела (A=a±0) или символ бесконечности (A=±∞). Пусть функции f(x) и g(x) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при x→A. Тогда если существует предел limx→A(f`(x)/g`(x)) (конечный или бесконечный), то существует и предел limx→A(f(x)/g(x)), при этом выполняется равенство:
limx→A(f`(x)/g`(x))= limx→A(f(x)/g(x)).
27. Производные и дифференциалы высших порядков.
N-ой производной от функции f(x) называется производная от ее (n-1)-й производной: f(n)(x)=(f(n-1)(x))`. Говорят так же, что f(n)(x) – это производная порядка n от функции f(x).
Дифференциалом n-ого порядка функции f(x) называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
Пусть функция f(x) имеет (n+1) производных в ɛ-окрестности точки x0. Тогда для любой точки x из этой окрестности найдется точка c, расположенная между точками x и x0, для которой выполняется следующая формула f(x)=T(x)+(f(n+1)(c))/((n+1)!)*((x-x0)n+1).
Формула Маклорена: f(x)=f(0)+(f`(0)/1!)*x1+(f``(0)/2!)*x2+…+(fn(0)/n!)*xn+(f(n+1)(c)/(n+1)!)*xn+1.
29. Признак монотонности дифференцируемой функции
Пусть функция f C ((a,b)) непрерывна на (a,b) и имеет в каждой точке x (a,b) производную f(x). Тогда
f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда x (a,b) f ' (x) ≥ 0
f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда x (a,b) f ' (x) ≤ 0
30. Определение локального экстремума функции одной переменной.
Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0) (для минимума f(x) ≥ f(x0) ) Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.
31. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f’(x0)=0.
32. Точка перегиба функции.
Точки, отделяющие промежутки, на которых функция f(x) выпукла, от промежутков, на которых f(x) вогнута, называются точками перегиба функции, если в них существует производная f’(x). В точках перегиба функция (график) меняет направление выпуклости.
33. Необходимое условие точки перегиба.
Для того чтобы точка х0 была точкой перегиба функции f(x), необходимо, чтобы выполнялось равенство f ’’(x0) = 0.
34. Определение асимптот графика функции.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.
35. Определение первообразн6ой для функции f(x) на промежутке x
Определение:
Функцияy=F(x) называетсяпервообразнойфункцииy=f(x) напромежуткеX, еслидля
любогохизХвыполняетсяравенство:
F’(x)=f(x).
Если F(x) первообразная ф-и f(x) на множестве D, то любую другую первообразную этой
функции можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.
Доказательство:
Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит Х: F’(x)=f(x).
Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадлежит Х: Ф’(x)=f(x).
Составим функцию f(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на промежутке Х → f'(х)= Ф’(х)-
F’(х)=f(x)-f(x)=0. По свойствам функции, дифференцируемой на Х → f(х)=соnst=c →
Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с, что и требовалось доказать.