Билет 1.

Комплексные числа.

Комлексным числом Z наз. число z=x+iy, где x, y R.

Мн-во комплексных чисел – С, R C, x–действ. часть, y – мнимая часть.

Расстояние от z(x,y) до начала корд. наз. модулем комп. числа Z. Аргументом числа Z 0, наз угол , кот-й образует радиус-вектор точки Z и полож направл оси OX.

Argz = argz (главное знач аргумента) + 2 k k Z

- <argz<

argz =

z = x+iy=zcos +izin =z(cos +isin )

z=r(cos + isin ) (!)

z1 = r1(cos + isin )

z2 = r2(cos + isin ) тогда

z1*z2 = r1*r2(cos( 1+ 2) + isin( 1+ 2)

zⁿ = rⁿ(cos(n ) + isin(n )

- Формула Муавра (!)

Формулы Эйлера:

; (!)

; ; ;

Билет 2.

Многочлены.

Многочлен (полином) относительно переменной z - это

2z⁴-5z³+2z=(z²-1)(2 z²-5z+2)+(-3z-2)

Q_m(z) T_k(z) R_c(z)

Значит P_n(z) = Q_m(z) T_k(z) + R_c(z) (*), где m<=n m+k=n, l<n;

Если R_c(z) = 0, то P_n(z) делится на Q_m(z).

Назовем компл. число z₁ корнем многочл. P_n(z), если P_n(z₁).

Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени P_n(z) делится на двучлен z-z₁, тогда и только тогда, когда z₁ является корнем P_n(z).

Запишем (*) для P_n(z) и z-z₁: P_n(z) = (z-z₁)T_n-1(z)+ R_c(z) => z:=z₁.

Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен P_n(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень.

Компл. число z₁ наз. корнем кратности к₁ многочл. P_n(z), если

P_n(z) = (z-z₁)^к1Т_n-k1(z)

Следствие: Многочл. P_n(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности:

P_n(z) = a_n(z-z₁)^к1(z-z₂)^к2…

Пусть z₁ – корень P_n(z) с действ. коэф-ми, тогда корень P_n(z)

P_n( )= = =0

Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами.

(z-z₁)(z- )=z²+p₁z+q₁

P_n(x) – с действ. коэф.

P_n(x)=a_n(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2*…*(x-x_l)^kl(x²+p₁x+q₁)^R1(x²+p₂x+q₂)^R2*…*(x²+p_mx+q_m)^Rm

X1, x2,…,xn – действ. Корни

k₁, k₂,…,k_n – их кратности

P₁, P₂,…,P_n, q₁, q₂,…,q_n – действ. числа

k₁+k₂+…+k_l+2R₁+2R₂+…+2R_m = n

Билет 3

(рациональные дроби и их разложение на суммы простейших дробей методы нахождения коэффицентов разложения)

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где — заданные числа

трехчлен не имеет действительных корней.

Тогда представляется в виде суммы простейших дробей

1—3 типов:

где — неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к Доказательство представлено в [3. С.354].

Примеры:

1)

2)

3)

Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.

Пример:

Поскольку (см. пример в

п. 16.1.1), то

Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших:

(16.1)

Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):

Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя:

Окончательно имеем

Билет 4.

Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.

Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x € X.

F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.

для

;

Совокупность всех первообразных F(x)+C для ф-ции f(x), определенное на X, называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на X и обозначается

;

Основные свойства неопределенного интеграла.

1).

2).

3).

4).

Билет 5.

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Внесение множителя под знак диффиринциала.

Теорема: Пусть определена и диф-ма на X. U- множество значений ф-ции . Для f(U) существует F(U) на U. Тогда для g(x) на X сущ-т первообразная , т.е.

Док-во:

На практике:

Вынесение множителя из-под знака дифференциала.

Теорема: Пусть определена и диф-ма на T. на Т. Для g(t) на Т существует G(t). , тогда для f(x) на X существует первообразная .

Док-во: возрастающая гарантировано (обратная).

На практике:

Билет 6.

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда

На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или

;

Док-во:

d(uv)=vdu+udv;

Билет Интегрирование рациональных функций.

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1) , 2) ,3) ,4)

1)

2)

3)

4)

- рекуррентная формула

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

Билет 7

Напомним, что рациональной алгебраической функцией называется дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами с вещественными коэффициентами. Обозначим рациональную дробь через , где и многочлены степени и соответственно.Рассмотрим случай, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя, т.е. . Разделим многочлен на многочлен с остатком, получим, что , где -многочлен степени , - многочлен степени .

Далее заметим, что при интегрировании можно без особого труда проинтегрировать . Перейдем к рассмотрению неопределенного интеграла от . Хорошо известно, что многочлен можно разложить на линейные и квадратические множители. Поступим таким образом со знаменателем, т.е.

где , - степень знаменателя, т.е. многочлена . Тогда рациональная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

Коэффициенты , и находятся методом неопределенных коэффициентов.

Далее интегрируя каждую из полученных дробей, получаем ответ.

Проинтегрируем первые дроби. Достаточно рассмотреть следующий интеграл:

Билет 8.

Интегрирование тригонометрических функций.

tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.

; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:

1. R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;

2. R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;

3. R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;

Интегралы вида:

1. m,n Z, m,n >= 0;