- •Случайные события: испытания, вероятность, частота. Свойства частоты.
- •События, алгебра событий
- •Аксиоматическое определение вероятности.
- •Классическая вероятность.
- •5. Язык теории вероятности и теории множеств.
- •9. Задача Бюффона
- •10. Задача о делении приза
- •11. Теорема умножения. Независимость. Теорема сложения.
- •14. Схема и формула Бернулли, частные случаи. Ф-ла Пуассона
- •15. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •16. Дискретная случайная величина, ряд распределения, многоугольник и функция распределения
- •17. Мат. Ожидание дсв, его интерпретация и свойства
- •18.Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •19. Мода, медиана, начальный и центральный момент
- •20. Функцией распределения непрерывной случайной величины, ее свойства
- •21. Плотность вероятности непрерывной св. Ее свойства, мат. Ожидание, десперсия
- •22) Биноминальное распределение
- •23. Распределение Пауссона
- •24. Равномерное и показательное распределение.
- •25. Норм распределение. Функция Лапласса и его свойства
- •26. Система двух случайных величин, функция распределения и плотность.
- •27. Дисперсия
- •28. Независимость и некоррелированность
- •29. Числовые характеристики системы случайных велечин
- •31. Числовые хар-ки ф-ций случайной величины
- •32. Неравенство Маркова и Чебышева. Правило 3-х сигм
- •33. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Теорема Колмогорова.
- •34. Закон больших чисел. Теорема Муавра-Лапласа
- •35. Закон больших чисел. Теорема Ляпунова.
- •36. Основные понятия статистики: генеральная совокупность, выборка, вариационный ряд, статистический ряд, эмпирическая функция распределения.
- •38. Статистическая проверка гипотез. Критерий Пирсона
Случайные события: испытания, вероятность, частота. Свойства частоты.
Опыт – выполнение комплекса условий в р-те которых происходит или не происходит опред. события (факты)
Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов. Относительной частотой W(A) события A наз отношение числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний.
Свойства частоты:
При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.
События, алгебра событий
Простейшие неразложимые результаты опыта-элементарные события. вся совокупность эл. событий-пространство эл. событий. События: достоверные, случайные(совместные, несовместные), невозможные.
Любое конечн или счётное кол-во пространств элементов событий наз. событием. а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта; б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может; в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Произведением А*В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Отрицание произошло событие не А.
A∈S; B∈S →A+B∈S
A∈S; B∈S →A*B∈S
A∈S→НЕА∈S
Аксиоматическое определение вероятности.
Вероятность события – численная мера объективной возможности его появления.
1) Каждому событию А ставится в соответствии число Р, которое называется вероятность А->Р(P>=0), P(A)=P, AэS, S<=Ω
2) Если события A1,A2…An несовместны, то верно равенство: P(A1+A2+…An)=P(A1)+P(A2)+…P(An) AiэS
3) P(Ω)=1 (вер-сть пространства элементарных событий)
Классическая вероятность.
Пусть события A1,A2,…,An ∈S, тогда некоторое события (M) приводят к событию А, а некоторые нет. Ь-благоприятствующее событию А. M=m(A). Вероятностью называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов.
P(A)=m(A)/n
А+неА= Ω
P(А+неА)=P(A)+P(неА)=1
P(неА)=1-P(A)
5. Язык теории вероятности и теории множеств.
Первый и второй вопрос.
6. Статистическая вероятность, проверка аксиом
Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней. Lim(m/n)=P(A)
Зам 1. Из формулы следует, что св-ва вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности.
Зам 2. Для сущ статистической вероятности события А требуется:
1) возможность производить неограниченное число испытаний;
2) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа опытов.
Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.
Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка (скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз из каждой сотни выстрелов.
7. Геометрическая вероятность, проверка аксиом
П усть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:
где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.
М ожно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:
где s – площадь части области, а S – площадь всей области.
В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:
где v – объем части тела, а V – объем всего тела.
8. Задача о встрече
П усть 2 лица договорились о встрече в определенном месте с 17 до 18 часов. Каждый из них приходит наудачу независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?
Тогда
|x-y|<=1/4
P(A)=1-P(неA)=1-2*3*3/(4*4)= =1-9/16=7/16