- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •Введение
- •Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине
- •Основные понятия и гипотезы
- •Перемещения и деформации в пластинке
- •Напряжения в пластинке
- •Усилия в тонкой пластинке
- •5. Вывод уравнений равновесия пластинки
- •Глава 2. Уравнения равновесия тонкой пластины
- •Формулировка граничных условий
- •Изгиб круглой пластинки
- •Глава 3. Равновесие прямоугольной пластины
- •Глава 4. Прочность пластин. Применение вариационных принципов к расчету пластин
- •Энергия тонкой пластинки
- •2. Критерий прочности тонкой пластинки
- •3. Деформационный критерий несущей способности пластин
- •4. Вариационные принципы при расчете пластин
- •5. Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации
- •Глава 5. Сложное напряженное состояние деформируемых тел
- •1. Свободная энергия стержня в общем случае нагружения
- •2. Теорема Кастилиано
- •3. Интеграл Мора
- •Глава 6. Упругопластическое кручение и изгиб стержня
- •Условия пластичности. Состояние пластичности
- •Идеальная пластичность
- •Упругопластический изгиб призматического бруса
- •Упругопластическое кручение круглого бруса
- •Кручение некруглых стержней
- •Глава 7. Исследование напряженного состояния
- •Напряжения в наклонном сечении при растяжении (одноосное напряженное состояние).
- •Двуосное напряженное состояние.
- •Плоское напряженное состояние.
- •4. Главные напряжения.
- •5. Круг Мора для двуосного напряженного состояния
- •Круг Мора для плоского напряженного состояния
- •Деформация при двуосном напряженном состоянии
- •Глава 8. Основы механики разрушения
- •1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
- •2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений
- •3. Критическое равновесие трещины
- •4. Схема расчета на трещиностойкость
- •5. Учет пластической зоны
- •6. Учет конечности размеров пластины
- •7. Экспериментальное определение коэффициента интенсивности напряжений
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Содержание
- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
Двуосное напряженное состояние.
Нормальные напряжения возникают в направлении как оси , так и .
Рис. 20. Напряжения при двухосном состоянии
Рассмотрим равновесие трехгранного элемента. Пусть – площадь грани, перпендикулярной (на ней напряжение равно ).
На грани, перпендикулярной , , площадь наклонной грани . На грань действует сила , на грань – сила . Проецируя силы на направление нормали к площадке:
,
. (1)
Проецируя на направление :
,
. (2)
Формулы (1,2) дают полное решение задачи.
Плоское напряженное состояние.
Кроме нормальных, есть и касательные напряжения. Показано положительное направление .
Рис. 21. Напряжения при плоском состоянии
Условия равновесия трехгранника дают:
;
.
Из тригонометрии:
; ;
.
Получим формулы:
;
.
Такие же формулы выполняются для двуосного состояния, при .
Правила знаков для напряжений:
а) все нормальные напряжения положительны при растяжении;
б) касательное напряжение положительно, если напряжение по оси ;
в) касательное напряжение положительно, если направлено по часовой стрелке (см. рис. 21).
4. Главные напряжения.
Экстремум как функции : :
.
Для угла получим .
Получим два значения , которые соответствуют минимуму и максимуму .
Главные напряжения:
.
5. Круг Мора для двуосного напряженного состояния
Обозначим , .
Можно найти: , .
Это уравнение окружности с параметром .
Из них следует: – уравнение окружности радиусом и с центром в точке , изображенной на рис. 22.
Рис. 22. Круг Мора
Координаты точки – напряжения , на плоскости под углом .
– точка максимального касательного напряжения.
Параллельно угол измеряется от точки , определенной величиной .
При , левее точки .
Пример. Построить круг Мора для двуосного напряженного состояния при , . Определить , для .
Рис. 23. Построение круга Мора
РЕШЕНИЕ.
– координаты центра круга.
Радиус круга .
Откладывая угол против часовой стрелки от точки , получим точку с координатами: ; .
Круг Мора для плоского напряженного состояния
Соотношения
для напряжений на площадке под углом к оси преобразуем заменой :
Получим уравнение окружности с центром , :
.
Алгоритм построения круга Мора:
Определить центр круга, координаты , .
Положение точки : , (в соответствии с правилом знаков, противоположно . Координаты точки : , . Точки , , должны лежать на одной прямой.
Круг диаметром и центром .
Для определения напряжения на наклонной плоскости с нормалью под углом к отложить против часовой стрелки от точки .
Деформация при двуосном напряженном состоянии
а) эффект Пуассона: осевое удлинение сопровождается уменьшением поперечного размера:
Рис. 24. Напряжения при двухосном состоянии
.
б) деформация вдоль зависит от . При выполнении закона Гука:
аналогично:
от ; от – величины деформации.
Деформация в направлении :
Обратно, выполняются:
в) изменение объема стержня:
– изменение размера элемента в направлении. Объем увеличится в отношении: или, если обратить малые величины порядков:
Тогда относительное изменение объема:
Выразим деформации через напряжения:
Материал этой главы можно подробнее изучить по учебнику [6].