9. Оптические явления в полупроводниках Занятия № 9, 10 и 11

К сожалению, я не знаю учебников, в которых содержание этого раздела изложено наглядно и просто. В книге Бонч-Бруевича [1] все изложено строго, но довольно сложно и почти без поясняющих картинок. Пожалуй, наиболее наглядной является книга Панкова [6], но эта книга старая и поэтому малодоступна. Кроме того, на мой взгляд, у Панкова не все вопросы изложены адекватно. Тем более важно разобраться в основных вопросах и выработать схему изложения на наших занятиях. На 9-ом занятии рассмотрены пп.9.1-9.3, на 10-ом занятии – пп. 9.4, 9.5 и 9.7. Оставшиеся пункты (9.6 и 9.8) о влиянии электрического и магнитного полей на оптические свойства полупроводников рассмотрены в начале 11-го занятия.

9.1 Комплексная диэлектрическая проницаемость, показатель преломления, коэффициент отражения, коэффициент поглощения. Связь между ними и соотношения Крамерса—Кронига.

Литература:

1. Бонч-Бруевич [1], глава 18, §1.

2. Ансельм [5], глава 7, §1.

3. Панков [6].

Схема:

1. Отправным пунктом для феноменологического описания оптических свойств веществ являются уравнения Максвелла для электромагнитных полей в средах, которые содержат поля, усредненные по макроскопическому объёму (с характерными размерами много больше межатомного расстояния). В эти уравнения входят, помимо электрического и магнитного полей E и B, также вектора индукции D и H, связанные с E и B, "материальными уравнениями": D=E+4P и H=B-4M, где P и M – электрический дипольный момент и магнитный момент единицы объёма, соответственно. Мы будет рассматривать только немагнитные среды, полагая M=0. Для не слишком сильных полей электрический дипольный момент (поляризация) единицы объёма P пропорциональна электрическому полю P=E. Поэтому "материальное уравнение" для вектора электрической индукции можно переписать в виде D=(1+4)E=E, где  - диэлектрическая проницаемость вещества.

2. Согласно принципу причинности, поляризация вещества в данной точке в любой заданный момент времени t₀ зависит от величины электрического поля в предшествовавшие моменты времени t<t₀. Можно показать, что следствием принципа причинности являются, во-первых, зависимость диэлектрической проницаемости от частоты электромагнитных колебаний, и, во-вторых, то, что диэлектрическая проницаемость есть величина комплексная: . Действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости связаны между собой интегральными соотношениями Крамерса-Кронига: если известна частотная зависимость действительной части диэлектрической проницаемости во всем диапазоне частот  (формально – от 0 до ), то с помощью соотношений Крамерса-Кронига можно найти зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости , и наоборот. Несмотря на кажущуюся невозможность применить соотношения Крамерса-Кронига на практике (кому же, спрашивается, может быть известна зависимость диэлектрических функций во всем диапазоне частот от 0 до ?), эти соотношения с успехом используются, поскольку асимптотическое поведение этих функций на больших частотах известно с достаточно большой точностью.

3. Из уравнений Максвелла выводится волновое уравнение, решениями которого являются монохроматические плоские волны , где – вектор поляризации волны, а волновой вектор k частота  и связаны между собой соотношением:

где – комплексный показатель преломления. Действительная часть комплексного показателя преломления n определяет фазовую скорость распространения волны , а мнимая часть  (показатель поглощения или коэффициент экстинкции) определяет затухание волны вследствие поглощения. Интенсивность света зависит от координаты по экспоненциальному закону:

Коэффициент поглощения  связан с показателем поглощения :

где  – длина волны излучения с частотой  в вакууме.

9.2 Межзонные переходы. Край собственного поглощения в случае прямых и непрямых, разрешенных и запрещенных переходов. Экситонное поглощение и излучение. Спонтанное и вынужденное излучение.

Литература:

1. Бонч-Бруевич [1], глава 18, §§4,5; глава 17, §7.

2. Ансельм [5], глава 7, §2.

3. Панков [6].

4. Киттель [2], глава 18.

5. Grundmann [7], глава 9, п.9.4,

Схема:

Про межзонные переходы, край собственного поглощения и про экситоны мы уже говорили на одном из первых занятий. Схема ответа обычная:

1. Определение межзонных переходов. Проиллюстрировать прямые межзонные переходы на диаграммах энергия-координата, энергия-квазиимпульс, а также на диаграмме, где налетающий фотон и порождаемые им электрон и дырка изображаются стрелками, указывающими направление квазиимпульса частиц.

2. Нарисовать качественно график зависимости коэффициента поглощения от энергии фотонов . Пояснить происхождение корневой зависимости (вблизи порога коэффициент поглощения пропорционален плотности состояний в разрешенных зонах).

3. В непрямозонных полупроводниках межзонные переходы возможны только с участием фононов, поглощение или испускание которых происходит одновременно с поглощением фотонов и обеспечивает выполнение закона сохранения квазиимпульса. Изобразить непрямые межзонные переходы на диаграмме энергия-квазиимпульс. Нарисовать качественно график зависимости коэффициента поглощения от энергии фотонов.

4. Учет кулоновского притяжения электронов и дырок приводит к радикальному изменению волновых функций, вероятностей переходов и, следовательно, спектральной зависимости коэффициента поглощения вблизи ширины запрещенной зоны. В спектре поглощения прямозонного полупроводника при появляются дискретные линии, обусловленные рождением основного и возбужденных состояний водородоподобных квазичастиц – экситонов. Эти линии сгущаются по мере приближения к . При начинаются переходы в непрерывный спектр несвязанных электрон-дырочных пар. При этом коэффициент поглощения значительно превосходит рассчитанный в одноэлектронном приближении, без учета кулоновского взаимодействия электронов и дырок. Изобразить оптические переходы в дискретные и непрерывные состояния экситонного спектра на диаграмме энергия - суммарный квазиимпульс электрон-дырочной пары.

5. Проиллюстрировать рисунками процесс излучательной рекомбинации экситонов.

6. Дать определение спонтанного и вынужденного излучения на примере двухуровневой системы (атома). Перевести на язык межзонных переходов в полупроводниках с поглощением и излучением фотонов. Сформулировать критерий усиления (то есть превышения излучательных переходов над поглощением и другими потерями) для атомов (инверсная заселенность уровней) и для межзонных переходов в полупроводниках (разность квазиуровней Ферми превышает ширину запрещенной зоны F=F_n-F_p>E_g).

9.3 Поглощение света на свободных носителях заряда.

Литература:

1. Бонч-Бруевич [1], глава 18, §3.

2. Ансельм [5], глава 7, §4.

3. Grundmann [7], глава 9, п.9.6.

4. Пихтин [20], глава 4; п.1.4 (спонтанное и вынужденное излучение).

Схема:

1. "Свободный электрон не может поглотить фотон" – это утверждение справедливо и для электронов в зоне проводимости полупроводника. Для выполнения законов сохранения энергии и квазиимпульса необходимо, чтобы одновременно с поглощением фотона произошло рассеяние электрона на фононе или на примеси. Изобразить схему перехода на диаграмме энергия-квазиимпульс.

2. В классической модели Друде можно получить универсальную спектральную зависимость коэффициента поглощения света на свободных носителях . Однако в актуальной области длин волн необходимо учитывать квантовый характер взаимодействия света со свободными носителями заряда. Как следствие, показатель степени при  не равен 2 и зависит от конкретного механизма рассеяния электронов. Тем не менее, общая тенденция возрастания коэффициента поглощения при увеличении длины волны (т.е. уменьшении частоты) света сохраняется.

Дополнительный вопрос:

Оптические свойства металлов определяются, главным образом, свободными электронами в зоне проводимости. Концентрация электронов в металлах по порядку величины одинакова. Почему же металлы, например серебро и медь, имеют разный цвет?

9.4 Поглощение света на колебаниях решетки. Рассеяние света колебаниями решетки, комбинационное рассеяние на оптических фононах (Рамана – Ландсберга), рассеяние на акустических фононах (Бриллюэна – Мандельштама).

Литература:

1. Ансельм [5], глава 7, §5.

2. Киттель [2], глава 5.

3. Grundmann [7], глава 9, п.9.7.

Схема:

1. Исторически первой микроскопической теорией, описывающей оптические свойства вещества, является классическая теория Лоренца. Согласно модели Лоренца, вещество представляет собой набор классических гармонических осцилляторов – заряженных шариков на пружинках с резонансной частотой ₀, которые совершают вынужденные колебания с частотой  под действием внешнего электромагнитного поля. Колеблющиеся заряды, как любые заряды, движущиеся с ускорением, излучают электромагнитные волны с той же частотой вынуждающей силы . Волны, переизлученные диполями, складываются с падающей волной и формируют результирующую волну, которая распространяется в среде с фазовой скоростью , причем v может быть как меньше, так и больше скорости света в пустоте c. Интенсивность волны I затухает в пространстве по экспоненциальному закону , где – коэффициент поглощения света,  – длина волны света в вакууме, n и  – действительная и мнимая части комплексного показателя преломления . Для нахождения частотной зависимости n и , необходимо записать уравнение движения (второй закон Ньютона) классического осциллятора с трением и найти амплитуду вынужденных колебаний . Затем нужно выписать выражение для дипольного момента единицы объёма и, пользуясь феноменологическими выражениями для вектора электрической индукции найти и .

2. Классическая модель Лоренца хорошо описывает оптические свойства атомов в газах. При этом каждой паре дискретных атомных уровней E_i<E_j нужно сопоставить осциллятор с резонансной частотой , и домножить вклад каждого осциллятора в диэлектрическую проницаемость на вероятность оптического перехода между уровнями f_ij ("силу осциллятора").

Для описания собственного поглощения в полупроводниках модель Лоренца не годится, поскольку оптическим переходам между широкими зонами трудно сопоставить осциллятор или дискретный набор осцилляторов с определенными частотами. Тем не менее, в полупроводниках есть механизмы поглощения, для описания которых модель Лоренца полезна. Мы уже рассматривали поглощение на свободных носителях заряда, которое описывается моделью Друде. Модель Друде представляет собой частный случай модели Лоренца, в которой возвращающая сила равна нулю (случай "шариков, отрезанных от пружинок").

3. Модель Лоренца хорошо описывает поглощение света на колебаниях решетки. Наиболее наглядно такое поглощение можно представить для полярных кристаллов (например, GaAs), в которых каждый из атомов имеет эффективный заряд, поэтому под действием электрического поля электромагнитной волны раскачиваются поперечные колебания решетки. На квантовом языке поглощение фотона с рождением поперечного оптического фонона понять ещё проще. Для этого достаточно нарисовать законы дисперсии для фононов и фотонов. В точке пересечения одновременно выполняются законы сохранения энергии и импульса, поэтому фотон может поглотиться с рождением одного фонона. Возможны процессы более высокого порядка, когда один фотон рождает несколько фононов. В таких процессах могут участвовать не только оптические, но и акустические фононы с квазиимпульсами вдали от p=0.

4. В неполярных полупроводниках (Ge, Si) взаимодействие со светом более слабое, потому что атомы не заряжены, и в первом приближении электрическому полю волны "не за что зацепиться". Тем не менее, в неполярных кристаллах тоже происходит поглощение света с рождением оптических фононов, хотя и более слабое по сравнению с полярными полупроводниками (вы помните, конечно, что в Ge и Si есть оптические фононы, поскольку примитивная ячейка этих полупроводников содержит два атома).

5. Рассеяние света колебаниями решетки мы уже рассматривали. Дать определения, нарисовать диаграммы рассеяния, схему эксперимента и спектры рассеяния.

9.5 Влияние примесей на оптические свойства. Примесная структура оптических спектров вблизи края собственного поглощения в прямозонных и непрямозонных полупроводниках. Межпримесная излучательная рекомбинация. Экситоны, связанные на примесных центрах.

Литература:

1. Grundmann [7], глава 9, п.9.7.

2. Панков [6], глава 6, §§5,6.

9.6 Оптические явления во внешних полях. Эффект Франца-Келдыша. Эффект Поккельса.

Литература:

1. Grundmann [7], глава 12, п.12.1.1

2. Бонч-Бруевич [1], глава 18, §10.

Схема:

1. Феноменологический подход к описанию влияния электрического поля на оптические характеристики вещества состоит в разложении тензора поляризуемости c_ij по степеням поля:

(1)

Здесь – символ Кронекера, тензора и – тензора, описывающие линейный и квадратичный электрооптический эффекты, соответственно. Линейный электрооптический эффект (называемый также эффектом Поккельса³) имеется только в средах без центра симметрии, в частности в GaAs. В центросимметричных средах, к которым относятся германий и кремний, тензор третьего ранга равен нулю, поэтому имеется только квадратичный электрооптический эффект (эффект Керра), который описывается тензором четвертого ранга .

2. Эффекты Поккельса и Керра приводят к индуцированному электрическим полем линейному двулучепреломлению, которое состоит в различии показателей преломления для волн с различными направлениями линейной поляризации света (скажем, направленными вдоль и перпендикулярно приложенному постоянному полю). В результате состояние поляризации света, распространяющегося в кристалле, может измениться.

3*. Двулучепреломление обычно изучают в области прозрачности кристалла. В спектральной области спектра, где есть поглощение света, электрическое поле вызывает дихроизм, то есть различия коэффициента поглощения от направления линейной поляризации.

4. Феноменологическое разложение (1) тензора поляризуемости по степеням поля непригодно вблизи "особых точек" спектра, таких как порог межзонного поглощения. Вблизи порога нужно решать микроскопическую задачу о влиянии электрического поля на спектр поглощения, что и сделали Франц и Келдыш. Электрическое поле приводит к образованию экспоненциального "хвоста" поглощения при энергиях фотонов, меньших ширины запрещённой зоны, и к осцилляциям коэффициента поглощения при энергиях фотонов, больших ширины запрещённой зоны (осцилляциям Франца-Келдыша). Период осцилляций Франца-Келдыша увеличивается при увеличении электрического поля.

9.7 Эффект Бурштейна-Мосса.

Литература:

1. Grundmann [7], глава 9, п.9.4.12

Схема:

Эффект Бурштейна-Мосса состоит в том, что в сильнолегированном вырожденном полупроводнике n-типа порог межзонного поглощения сдвигается в сторону больших энергий фотонов (относительно E_g) приблизительно на величину энергии Ферми, из-за невозможности переходов в состояния зоны проводимости, занятые электронами. Аналогично в полупроводнике p-типа.

9.8 Эффекты Фарадея и Фойгта.

Литература:

1. Панков [6], глава 15, §§2.3, 2.4.

2. Мосс [8], глава 4.

Схема:

1. Классическое описание магнитно-оптических явлений.

В магнитном поле H под действием силы Лоренца электроны двигаются по круговым орбитам с циклотронной частотой w_с

Cобственные решения волнового уравнения, распространяющиеся вдоль магнитного поля, поляризованы по кругу s±, причем показатели преломления различны для право- и лево-циркулярно поляризованных волн: n₊ ¹ n_-

2. Эффект Фарадея состоит в повороте плоскости линейной поляризации при распространении света в веществе вдоль направления магнитного поля.

Объяснение: Линейная поляризация = s+ + s- ; набег фаз между s+ и s- за счет разности показателей преломления

приводит к повороту плоскости поляризации на угол q при прохождении пластины толщиной d:

3. Эффект Фойгта состоит в двулучепреломлении линейно-поляризованного света при распространении волны перпендикулярно направлению приложенного магнитного поля.