2.10 Закон збереження механічної енергії

Система тіл, в якій діють сили, робота яких не залежить від форми шляху переміщення тіла називається консервативною. Це системи, в яких не відбувається перетворення механічної енергії (кінетичної чи потенціальної) в немеханічні види, наприклад, в тепло. Це системи, в яких відсутні сили тертя. Прикладом потенціальних (консервативних) сил можуть бути сили гравітації (сили тяжіння), кулонівські сили. Інші системи, в яких механічна енергія перетворюється в немеханічну, називаються дисипативними (неконсервативними). В них відбувається дисипація (розсіювання) механічної енергії.

Таким чином:

В консервативній, замкнутій системі тіл повна механічна енергія залишається незмінною:

(2.26)

– закон збереження механічної енергії.

2.11 Потенціал гравітаційного поля. Градієнт потенціалу. Зв’язок між напруженістю і потенціалом

Силове поле, в якому робота не залежить від форми шляху, а визначається тільки положенням початкового і кінцевого положення тіла, називається потенціальним. Прикладом потенціального поля

є гравітаційне поле, електростатичне поле. Такі поля характеризуються окрім силової векторної характеристики – напруженості ще й скалярною, енергетичною характеристикою – потенціалом.

Потенціалом гравітаційного поля називається робота, яку виконують гравітаційні сили по переміщенню тіла одиничної маси із даної точки поля в нескінченність.

Одержали, що потенціал гравітаційного поля Землі

(2.27)

залежить тільки від положення тіла, тобто радіус-вектора r.

Робота по переміщенню тіла m із точки 1 в нескінченність дорівнює А _{r, ∞} = m∙φ.

Тоді, робота по переміщенню тіла m із точки 1 в точку 2 буде дорівнювати:

(2.28)

де (φ₁ – φ₂) називають різницею потенціалів гравітаційного поля.

Одиницею вимірювання гравітаційного потенціалу і різниці потенціалів є [φ] = Дж/кг = (м/с)².

Знайдемо зв’язок між напруженістю і потенціалом. За означенням потенціалу і напруженості маємо

,

де G_r – проекція вектора напруженості на напрям . Взявши похідну з останнього виразу по радіус-вектору r, одержуємо

,

або в декартовій системі координат

.

Тоді вектор напруженості запишеться через одиничні вектори (орти)

. (2.29)

Векторна функція називається градієнтом скалярної величини φ і дає швидкість її зміни з координатою. Напрям вектора градієнта вказує напрям найбільш швидкого зростання функції φ з координатою.

Помноживши (3.17) на масу m, одержимо зв’язок між силою і потенціальною енергією

. (2.30)