- •Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.
- •§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
- •§. Производная сложной функции.
- •§. Формула конечных приращений для функции многих переменных.
- •§. Производная функции по направлению.
- •§. Инвариантность формы 1го дифференциала при замене переменных.
- •§. Производные высших порядков.
- •§. Дифференциалы высших порядков.
- •§. Формула Тейлора.
- •§ Экстремумы функций нескольких переменных.
- •§. Достаточные условия экстремума.
- •Примеры:
- •§. Наибольшие и наименьшие значения функции в замкнутой области.
- •§ Функции многих переменных, заданные неявно.
- •§ Примеры вычисления производных от неявных функций.
- •§. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
- •§. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.
§. Частные производные и частные дифференциалы.
Задана функция переменных . Частными приращениями функции называются: .
Частной производной функции по переменной называется: .
Обозначения для частных производных:
Вычисление частной производной по переменной производится как обычно и, при этом все переменные, кроме , считаются постоянными.
Примеры.
10. ; Тогда
20. ;
30. ;
; .
§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
Т0. Если для функции существуют частные производные в некоторой окрестности точки Р0, и непрерывны в Р0, то , где - бесконечно малые величины.
Δ. =
= +
+ +
+ . Имеем сумму частных приращений. По формуле конечных приращений для функции одного переменного получаем: =
= .
При получим:
. ▲.
Def: Функция называется дифференцируемой в точке Р0, если возможно представление: , (*)
где – константы, а при . Полагая в (*) (если оно выполнено) все , кроме , получим:
.
Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р0:
.
Def: Главная линейная часть приращения называется дифференциалом функции в точке Р0 и обозначается
,
а величины называются частными дифференциалами.
Если дифференцируема, то
Тогда
Для независимых переменных и .
Пример. .
Пример (контрпример).
Δ. Рассмотрим ; Мы уже рассматривали эту функцию и установили, что в Р0(0, 0) она непрерывна. Далее: .
Так как , то и, следовательно, функция имеет в (0,0) частные производные.
Однако, формула не имеет места.
В самом деле: и не стремится к 0. Связано это с тем, что в точке Р0 не являются непрерывными:
и,кроме того, . ▲
§. Производная сложной функции.
Т0. Если – функция дифференцируемая в точке Р0 и функции дифференцируемы в t0 , то функция дифференцируема в точке t0 и
.
Δ. =
= = .
Это и доказывает дифференцируемость функции и
. ▲
Без труда можно доказать и формулы для дифференцирования сложной функции и в более общем случае:
Пусть и . Тогда для справедливо: .
Примеры.
10. Пусть и . Найти и .
; .
20. (контрпример). Пусть и . Найти .
а) ; б) .
Получили результаты, противоречащие один другому. Этот случай показывает, что формула производной сложной функции в этом случае не работает.
NB. Оказывается существование частных производных недостаточно для дифференцируемости (хотя наоборот верно). Дифференцируемость более жесткое требование, чем существование частных производных.