- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19. Волновое уравнение
- •§ 20. Производная оператора по времени
- •§ 21. Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гейзенберга
- •§ 24. Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Потенциальный барьер конечной высоты
- •§ 29. Вид операторов и в декартовых и сферических координатах
- •§ 30. Коммутационные соотношения с оператором
- •§ 31. Собственные функции и собственные значения операторов и
- •§ 32. Собственный механический момент (спин)
- •§ 33. Операторы и и их свойства
- •§ 34. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 35. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 36. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 37. Принцип тождественности
- •§ 38. Оператор перестановки и его свойства
- •§39. Симметричное и антисимметричное состояния
- •§40. Обменное взаимодействие
- •§41. Основное состояние атома гелия
- •§42. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •§43. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •§44. Критерий применимости теории возмущений
- •§45. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Задачи по курсу «Квантовая статистика» (Часть I) и их решение
- •Вопросы для экзамена по квантовой механике (программа минимум).
§ 24. Оператор Гамильтона различных систем
Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов
.
Поставим в соответствие конкретной системе операторы и :
В декартовой системе координат , .
Здесь n – число точек в системе.
.
- функция от оператора координаты.
Мы рассматриваем - представление, здесь
Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).
Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле
Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.
отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.
.
Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.
.
Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индекс a убирается.
Внутреннее взаимодействие неаддитивно.
Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:
Тогда , или в -представлении, то
,
тогда .
Если материальная точка во внешнем поле:
, ,
Нестационарное поле .
Стационарное поле .
Центральное поле .
Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.
В случае классической механики: .
Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.
Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.
В квантовой механике в -представлении:
,
,
где
§ 25. Стационарное состояние различных систем
Задача на собственные функции и собственные значения для оператора :
(25.1)
Волновое уравнение:
(25.2)
Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим , которая определяет состояние системы.
Собственные функции задачи (25.1) и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:
, тогда . Это условие совместности решений (25.1) и (25.2).
Так как , то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (25.1) и (25.2).
Рассмотрим стационарную задачу , тогда не зависит от времени. Это либо:
Замкнутая система.
Система в стационарном внешнем поле.
Используя (25.1) и (25.2), получим
Это дифференциальное уравнение имеет решение
Подставим эту функцию в (25.1), тогда
.
Тогда получим
Получили стационарное уравнение Шредингера.
§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
Для свободной материальной точки .
, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.
Это трехмерная задача
Оператор Лапласа
Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.
Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде
,
где
Для имеем
.
Обозначим
.
Тогда
Решение этого уравнения
Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит, сохраняется направление движения частицы.
Мы выбираем движение частицы по направлению оси x. Тогда в силу сохранения импульса имеем .
Для трехмерного случая
Полная волновая функция
(26.1)
Рассмотрим теперь коммутатор
Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда . Из этого следует:
-интеграл движения.
Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.
Найдем собственные значения оператора импульса.
{используем, что , т. е. } =
= .
Тогда собственное значение оператора :
Это первое дебройлевское соотношение.
Из (26.1) вводится - второе дебройлевское соотношение.
Используем, что
Уравнение (26.1) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.