Задача 1.7

Матеріальна точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які задаються рівняннями: м; м. Знайти рівняння траєкторії руху точки і побудувати її графік. Показати напрям руху точки. Визначити швидкість і прискорення точки в момент часу с.

Розв’язування 1.7

Виключаючи з заданих рівнянь, отримаємо рівняння траєкторії руху точки:

; (1)

(2)

(3)

Р івняння (3) представляє собою канонічне рівняння еліпса з півосями м; м (рис. ).

Щоб визначити напрям руху точки, з рівнянь (1) знайдемо її координати в момент часу :

; (4)

тобто в початковий момент часу точка знаходиться в положенні А. Із збільшенням координата х також збільшуватиметься, тому точка рухається проти годинникової стрілки.

Швидкість точки під час її руху вздовж еліпса дорівнює векторній сумі швидкостей і . Якщо коливання взаємно перпендикулярні, то

(5)

Знайдемо і з рівнянь (1):

; (6)

Тоді

(7)

Аналогічно

(8)

; (9)

(10)

В момент часу с, отримаємо:

с; м/с²

Задача 1.8

Диференційне рівняння руху кулі математичного маятника має вигляд . Якщо , то період коливань Т задається рівнянням ; при , період коливань . Визначити для яких кутів період не перевищує період Т в 1,01 раз.

Розв’язування 1.8

1. метод. Оскільки має виконуватись нерівність , потрібно розв’язати тригонометричну нерівність:

(1)

(2)

Поклавши , отримаємо нерівність:

, (3)

розв’язком якої є . Звідси

,

оскільки кут для математичного маятника змінюється від до .

2. метод. Розв’язати задачу можна, побудувавши графік залежності

= (4)

в межах від до , по точках, розрахованих за формулою (4) з кроком в 5^о (див. табл.), або в будь-якій з комп’ютерних програм (наприклад, Origin).

Через точку проводимо паралельну осі абсцис лінію, з точок її перетину з кривою опускаємо перпендикуляри на вість абсцис і визначаємо (див. рис.).

, град
-90	1,160156
-85	1,143401
-80	1,127301
-75	1,111961
-70	1,097468
-65	1,083893
-60	1,071289
-55	1,059696
-50	1,049138
-45	1,039628
-40	1,031169
-35	1,023756
-30	1,017378
-25	1,01202
-20	1,007666
-15	1,0043
-10	1,001907
-5	1,000476
0	1
5	1,000476
10	1,001907
15	1,0043
20	1,007666
25	1,01202
30	1,017378
35	1,023756
40	1,031169
45	1,039628
50	1,049138
55	1,059696
60	1,071289
65	1,083893
70	1,097468
75	1,111961
80	1,127301
85	1,143401
90	1,160156