8. Згасаючі (затухаючі) механічні коливання

Енергія механічних коливань поступово витрачається на роботу проти сил тертя, тому вільні коливання завжди згасають.

Згасаючі механічні коливання – це такі, амплітуда яких поступово зменшується з часом.

16

Нехай сили, що спричиняють затухання механічних коливань, пропорційні величині швидкості.

– сила тертя (опору).

– коефіцієнт опору;

– швидкість руху.

– рівняння руху коливної точки вздовж осі .

– диференційне рівняння згасаючих механічних коливань.

– розв’язок диференційного рівняння згасаючих механічних коливань.

та – початкові амплітуда та фаза (визначаються з початкових умов).

– часова залежність амплітуди затухаючих коливань.

– коефіцієнт згасання (затухання).

– власна циклічна частота коливань дисипативної системи.

– циклічна частота вільних незгасаючих коливань тієї самої коливної системи у відсутності сил тертя.

– умовний період затухаючих коливань.

– декремент згасання.

– логарифмічний декремент згасання.

Позначимо через проміжок часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз (час релаксації). Тоді

(26)

Звідси

17

(27)

Коефіцієнт затухання є фізична величина, обернене значення якої є проміжок часу , протягом якого амплітуда коливання зменшується в раз.

Нехай – число коливань, після яких амплітуда зменшується в раз.

Тоді

Логарифмічний декремент затухання є фізична величина, обернене значення якої дорівнює числу коливань , після закінчення яких амплітуда коливань зменшується в е раз.

– добротність коливальної системи.

9. Вимушені механічні коливання

Вимушені коливання це такі, коли на систему за допомогою зв’язку діє ззовні періодична сила, яка викликає коливання системи. Нехай на коливну систему діють три сили:

– відновлююча сила (пружна сила);

– сила опору (сила, яка викликає згасання коливної системи);

– періодична збурююча сила (вимушуюча сила);

– основне рівняння динаміки для вимушених прямолінійних коливань.

18

– диференціальне рівняння руху коливної точки під дією пружної сили, сили опору та періодичної зовнішньої сили.

– диференціальне рівняння вимушених коливань.

– розв’язок диференціального рівняння для вимушених коливань, які встановились.

– статичне зміщення коливної точки.

Усталені вимушені коливання системи, які виникають під дією сили є гармонічними, причому їх циклічна частота дорівнює циклічній частоті вимушуючої сили.

– фазове зміщення резонатора відносно збурюючої сили (зсув фаз між зміщенням і вимушуючою силою).

– зсув фаз між швидкістю усталених вимушених коливань і вимушуючою силою.

(*)

– амплітуда усталених вимушених коливань, яка прямо пропорційна амплітуді вимушуючої сили , обернено пропорційна масі системи і зменшується із збільшенням коефіцієнта затухання . Якщо , і сталі, амплітуда залежить тільки від співвідношення між циклічними частотами вимушуючої сили і вільних незатухаючих коливань системи .

– фазове зміщення

19

– початкова фаза, тобто зсув фаз .................. .................

Резонанс – це явище різкого зростання амплітуди, коли .

Рис.1. Залежність амплітуди від частоти прикладеної сили для різних фіксованих значень коефіцієнта згасання .

Очевидно, максимальне значення амплітуди буде при мінімальному значенні підкореневого виразу у формулі (*). Умовою мінімуму є рівність нулю похідної за частотою підкореневого виразу, тобто

( )

Звідси

– резонансна частота.

– величина резонансної амплітуди.

20

Залежність зображена на рис.2. Видно, що незалежно від величини коефіцієнта згасання при різниця фаз складає .

Рис.2. Залежність -фазового зміщення резонатора від частоти -збуджуючої сили.

21

Приклади розв’язування задач