Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения и понятия.
def 1 Уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию под знаком дифференциала или производной, называется дифференциальным (ДУ).
def 2 Дифференциальное уравнение, содержащее искомую функцию зависящую только от одной переменной, называется обыкновенным.
def 3 Дифференциальное уравнение, содержащее искомую функцию, зависящую от нескольких переменных, называется дифференциальным уравнением в частных производных.
def 4 Порядком ДУ называется порядок старшей производной или дифференциала, который фигурирует в данном ДУ.
Пример
1 
- это ДУ 7-го порядка.
Таким
образом, общим видом дифференциального
уравнения порядка
является выражение вида
, (1)
где F – заданная функция.
def 5 Если уравнение (1) допускает представление (2):
,
(2)
то говорят, что ДУ разрешено относительно старшей производной.
Замечание 1 Частным случаем уравнения (1) является уравнение (2).
def 6 Процесс нахождения решения данного ДУ называется интегрированием ДУ.
def
7
Интегралом
(решением) ДУ
(1) на интервале
называется такая n
раз дифференцируемая на этом промежутке
функция, при подстановке которой в ДУ
(1) обращает это ДУ в верное равенство
на
.
В общем случае используют термин
«интеграл»,
однако если одну переменную, например
«у»
(так как в общем случае принято за искомую
функцию принимать переменную
),
в явном виде возможно выразить через
переменную «х»,
то используют термин «общее
решение».
Замечание
2
Подставить функцию у(х)
в ДУ (1) возможно, только в случае того,
если точка
для любого
принадлежит области определения функции
F.
def 8 График задающий решение ДУ называют интегральной кривой.
def 9 Множество всех решений ДУ называют общим интегралом (общим решением) ДУ. Если все решения ДУ заданы в явном виде, то используют термин «общее решение». В остальных случаях говорят об «общем интеграле».
def 10 Начальными условиями для ДУ (1) называются, например, выражения вида
,
(3)
задаваемые
в
одной точке
,
где
заданные числа.
def
11
Краевыми
условиями
для ДУ (1) называют выражения, задающие
значения искомой функции и/или её
производных до порядка (n-1)
включительно в
различных точках
xk
.
def 12 Решением задачи Коши для ДУ (1) называется выделение частного решения (частного интеграла) из общего решения (общего интеграла) ДУ (1) с использованием начальных условий.
Th1
(О
существовании и единственности решения)
Пусть в некоторой односвязной области
(D
– область интегрирования ДУ (2)) функция
является непрерывной вместе со своими
частными производными по совокупности
переменных
.
Тогда при любых начальных значениях,
то есть точках вида
,
ДУ (2) имеет единственное решение,
определённое на некотором интервале
(
)
и удовлетворяющее начальным условиям
вида (3).
Замечание 3 Условия теоремы Th1 являются лишь достаточными.
def 13 Особой точкой ДУ (1) называют такую точку вида , в δ-окрестности которой решение ДУ (1), удовлетворяющее начальным условиям (3), или не существует, или существует, но не единственно.
def 14 Если интегральная кривая ДУ состоит только из особых точек, то решение которое её задаёт называют особым.