Глава 5. Аналіз рядів розподілу

5.1. Значення аналізу рядів розподілу

Статистична сукупність формується під впливом різних причин та умов, з одного боку – типових, загальних для всіх елементів сукупності, а з іншого –випадкових, індивідуальних. Їх спільна взаємодія визначає як індивідуальні значення ознак, так і їх розподіл у межах сукупності. Характерні властивості складу та структури статистичної сукупності відбиваються в рядах розподілу. Тому аналіз рядів розподілу займає велике значення при проведенні статистичних досліджень.

Поглиблений аналіз рядів розподілу передбачає:

► визначення типового рівня ознаки, який є центром тяжіння;

► вимірювання варіації ознаки, ступеня згрупованості індивідуальних значень ознаки навколо центра розподілу;

► оцінювання особливостей варіації, ступеня їх відхилення від симетрії;

► оцінювання нерівномірності розподілу значень ознаки між окремими елементами сукупності, тобто ступінь їх концентрації.

Поняття про ряди розподілу, їх елементи та види було розглянуто раніше у главі 3.

5.2. Характеристики центра розподілу

Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величина. Види середніх величин, їх значення у статистиці, порядок розрахунку середньої арифметичної та середньої гармонічної було розглянуто у главі 4.

Однак при проведенні статистичних досліджень важливе значення мають структурні середні величини, які характеризують структуру сукупностей. До структурних середніх величин, у першу чергу, відносять моду та медіану.

Мода та медіана є конкретними характеристиками ряду розподілу, тому їх називають описовими характеристиками або характеристиками центра розподілу. На відміну від інших середніх, які залежать від усіх значень ознаки, мода та медіана залежать лише від характеру частот, тобто від структури розподілу. Порядок розрахунку моди та медіани залежіть від виду ряду розподілу.

Мода – це варіанта (значення ознаки), яка найчастіше зустрічається у сукупності.

В атрибутивних та дискретних варіаційних рядах розподілу моду легко відшукати візуально без будь-яких розрахунків. У даних рядах розподілу модою є варіанта, яка має найбільшу частоту.

В інтервальних варіаційних рядах спочатку також візуально визначають модальний інтервал. Модальний інтервал – це інтервал, який відповідає найбільшій частоті. Потім моду обчислюють за формулою:

,

де – нижня межа модального інтервалу;

– розмір (ширина) модального інтервалу;

– частота модального інтервалу;

– частота інтервалу, попереднього модальному (передмодального);

– частота інтервалу, наступного за модальним (післямодального).

Інколи трапляються ряди розподілу, в яких не одна, а декілька варіант, які мають найбільші частоти. Це означає, що у даному випадку буде дві чи більше моди.

Медіана – це варіанта, що поділяє впорядкований ряд розподілу на дві рівні за чисельністю частини.

При визначенні медіани використовують кумулятивні (накопичені) частоти, які полегшують пошук варіанти (значення ознаки), що знаходиться у середині упорядкованого ряду. Кумулятивні частоти отримують поступовим підсумовуванням частот. Остання кумулятивна частота завжди дорівнює сумі частот ряду розподілу.

У дискретних варіаційних рядах розподілу медіаною є варіанта, кумулятивна частота якої перевищує половину суми частот (обсягу сукупності). Тому при визначенні медіани спочатку треба визначити порядковий номер медіани, а потім встановлюється значення ознаки (варіанта), що відповідає даному порядковому номеру. Порядковий номер медіани у дискретних рядах визначається за формулою:

,

де – сума частот.

В тому разі, коли сума частот парна, порядковий номер медіани є дробовим числом, але оскільки дробових варіантів не буває, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів. Тому для дискретного ряду з парним числом варіант медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант.

В інтервальних варіаційних рядах розподілу спочатку визначають медіанний інтервал. Медіанний інтервал – це інтервал, накопичена частота якого рівна або більше половини суми частот. Потім медіану визначають за формулою:

,

де – нижня межа медіанного інтервалу;

– розмір (ширина) медіанного інтервалу;

– сума частот;

– сума накопичених частот інтервалу, попереднього медіанному (передмедіанного);

– частота медіанного інтервалу.

Мода та медіана – це особливий вид середніх величин, вони у багатьох випадках мають переваги перед середньою арифметичною або середньою гармонічною і використовуються при вирішенні деяких практичних завдань.

Так мода має велике значення при вивченні попиту населення на товари та послуги, потоку пасажирів на транспорті тощо.

Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень ознаки, тому сума модулів відхилень варіант від медіани мінімальна, тобто має властивість лінійного мінімуму. Цю властивість медіани використовують при проектуванні розміщення зупинок міського транспорту.

Для характеристики структури варіаційного ряду розподілу додатково до медіани обчислюють квартилі, децилі та процентилі.

Квартилі – це варіанти, які поділяють ряд за сумою частот на чотири однакові частини, децилі – на десять рівних частин, процентилі поділяють ряд розподілу на сто рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот за аналогією з медіаною. Порядок їх розрахунку буде розглянутий у наступному розділі.