1 - Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
Дифференциальное
уравнение первого
порядка, содержит:
1)
независимую переменную 
;
2)
зависимую переменную 
(функцию);
3)
первую производную функции: 
.
В некоторых
случаях в уравнении первого порядка
может отсутствовать «икс» или (и) «игрек»
– важно чтобы
в ДУ была первая
производная
,
и не
было производных
высших порядков – 
, 
и
т.д.
Что
значит решить дифференциальное
уравнение? Решить
дифференциальное уравнение – это
значит, найти множество
функций 
,
которые удовлетворяют данному уравнению.
Такое множество функций называется общим
решением дифференциального уравнения.
Пример 1
Решить
дифференциальное уравнение 
Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?
В первую
очередь нужно переписать производную
немного в другом виде. Вспоминаем
громоздкое обозначение производной: 
.
Такое обозначение производной многим
из вас наверняка казалось нелепым и
ненужным, но в диффурах рулит именно
оно!
Итак, на
первой этапе переписываем производную
в нужном нам виде:
На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.
Дифференциалы 
и 
–
это полноправные множители и активные
участники боевых действий. В рассматриваемом
примере переменные легко разделяются
перекидыванием множителей по правилу
пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Следующий
этап – интегрирование
дифференциального уравнения.
Всё просто, навешиваем интегралы на обе
части:
Разумеется,
интегралы нужно взять. В данном случае
они табличные:
Как
мы помним, к любой первообразной
приписывается константа. Здесь два
интеграла, но константу 
достаточно
записать один раз. Почти всегда её
приписывают в правой части.
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.
Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.
То
есть, вместо записи
обычно
пишут 
.
Здесь 
–
это такая же полноценная константа, как
и
.
Зачем это нужно? А для того, чтобы легче
было выразить «игрек». Используем
школьное свойство логарифмов: 
.
В данном случае:
Теперь
логарифмы и модули можно с чистой
совестью убрать с обеих частей:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Задача
Коши обычно возникает при анализе
процессов, определяемых дифференциальным
законом эволюции и начальным состоянием
(математическим выражением которых и
являются уравнение и начальное условие).
Этим мотивируется терминология и выбор
обозначений: начальные данные задаются
при 
,
а решение отыскивается при 
.
От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.
Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:
Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
Если решение существует, то какова область его существования?
Является ли решение единственным?
Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?
Говорят,
что задача Коши имеет единственное
решение, если она имеет решение 
и
никакое другое решение не отвечает интегральной
кривой,
которая в сколь угодно малой выколотой
окрестности точки 
имеет поле
направлений,
совпадающее с полем направлений
.
Точка
задаёт
начальные условия.
Различные постановки задачи Коши
ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
Система
ОДУ первого
порядка, разрешённая относительно
производных (нормальная
система
-го
порядка)
ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной
2 - Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
или
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.
Для
решения такого дифференциального
уравнения необходимо
домножить или разделить обе
части дифференциального
уравнения на
такое выражение, чтобы в одну часть
уравнения входили только функции
от 
и 
,
в другую часть уравнения - только функции
от 
, 
.
Затем в полученном дифференциальном
уравнении надо
проинтегрировать обе части:
Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.
Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем дванеопределенных интеграла.
Пример 1 - решить дифференциальное уравнение
Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем,дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Однородные!
Решить
дифференциальное уравнение 
Решение: Что в первую очередь следует проанализировать при решении любогодифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном
примере переменные
разделить нельзя (можете
попробовать поперекидывать слагаемые
из части в часть, повыносить множители
за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере,
тот факт, что переменные разделить
нельзя, достаточно очевиден ввиду
наличия множителя 
.
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо
подставляем 
, вместо
подставляем 
, производную
не трогаем:
Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:
Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.
Очевидно,
что лямбды сразу сокращаются в показателе
степени:
Теперь
в правой части выносим лямбду за скобки:
Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду: В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию
«игрек» необходимо заменить произведением некоторой
функции 
(тоже
зависящей от «икс») и «икса»:
Выясняем,
во что превратится производная
при
такой замене, используем правило
дифференцирования произведения. Если
,
то:
Подставляем
и 
в
исходное уравнение
:
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантированополучим уравнение с разделяющимися переменными. Еще раз подчеркиваю, для ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну и ту же замену: строго и, соответственно, строго .
После
подстановки проводим максимальные
упрощения уравнения:
Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.
Если
–
это функция, зависящая от «икс»,
то 
.
Таким
образом:
Разделяем
переменные, при этом в левой части нужно
собрать только «тэ», а в правой части –
только «иксы»:
Переменные
разделены, интегрируем:
Согласно
моему первому техническому совету из
статьи Дифференциальные
уравнения первого порядка константу
во многих случаях целесообразно
«оформить» в виде логарифма.
После того,
как уравнение проинтегрировано, нужно
провести обратную
замену,
она тоже стандартна и единственна:
Если
,
то 
В
данном случае: 
В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий
интеграл: 
3 – ЛИНЕЙНЫЕ ДИФ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений
На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.
Начнем с систематизации и повторения.
На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любоедифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.
Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.
Линейное уравнение первого порядка в
стандартной записи имеет вид:
Что
мы видим?
1) В линейное уравнение
входит первая производная
.
2)
В линейное уравнение входит произведение 
,
где
–
одинокая буковка «игрек» (функция),
а 
–
выражение, зависящее только от
«икс».
3) И, наконец, в линейное
уравнение входит выражение 
,
тоже зависящее только от«икс».
В частности,
может
быть константой.
Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.
Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.
– Как уже отмечалось, выражение
может
быть некоторой константой 
(числом),
в этом случае линейное уравнение
принимает вид: 
– Выражение
тоже
может быть некоторой константой
,
тогда линейное уравнение принимает
вид: 
.
В простейших случаях константа равна
+1 или –1, соответственно, линейное
уравнение записывается еще проще: 
или 
.
– Рядом с производной может находиться
множитель 
,
зависящий только от «икс»: 
–
это тоже линейное уравнение.
4 – ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Дифференциальное
уравнение второго порядка имеет вид 
.
Определение. Общим
решением уравнения второго порядка
называется такая функция 
,
которая при любых значениях 
и 
является
решением этого уравнения.
Определение. Линейным
однородным уравнением второго порядка
называется уравнение 
.
Если коэффициенты 
и 
постоянны,
т.е. не зависят от 
,
то это уравнение называют уравнением
с постоянными коэффициентами и записывают
его так: 
.
Уравнение 
будем
называть линейным неоднородным
уравнением.
Определение. Уравнение 
,
которое получается из линейного
однородного уравнения заменой
функции 
единицей,
а 
и 
-
соответствующими степенями 
,
называется характеристическим уравнением.
Известно,
что квадратное уравнение
имеет
решение, зависящее от дискриминанта 
: 
,
т.е. если 
,
то корни 
и 
-
действительные различные числа. Если 
,
то 
.
Если же 
,
т.е. 
,
то 
будет
мнимым числом, а корни
и
-
комплексными числами. В этом случае
условимся обозначать 
.
Пример
4. Решить
уравнение 
.
Решение. Дискриминант
этого квадратного уравнения 
,
поэтому 
.
Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.
Если 
-
действительные корни характеристического
уравнения, то 
.
Если
корни характеристического уравнения
одинаковы, т.е. 
,
то общее решение дифференциального
уравнения ищут по формуле 
или 
.
Если
же характеристическое уравнение имеет
комплексные корни
,
то 
.
Пример
5. Найти
общее решение уравнения 
.
Решение. Составим
характеристическое уравнение для
данного дифференциального уравнения: 
.
Его корни 
, 
действительны
и различны. Поэтому общее решение 
.
Пример
6. Решить
уравнение 
.
Решение. Характеристическое
уравнение 
или 
имеет
корни 
.
Так что 
.
Пример
7. Решить
уравнение 
.
Решение. Характеристическое
уравнение
данного
однородного линейного уравнения мы уже
решили выше в примере 4. Корни этого
уравнения 
,
поэтому общее решение линейного
однородного уравнения находим по
формуле
,
где 
, 
.
Итак, 
.
Общее
решение линейного неоднородного
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами, т.е. уравнения вида
,
записывается в виде 
,
где 
-
общее решение соответствующего
однородного уравнения, а 
-
какое-либо частное решение неоднородного
уравнения.
Укажем способ, позволяющий найти частное решение неоднородного уравнения по виду правой части. Заметим, что это возможно лишь в случаях, когда правая часть уравнения является функцией определенного вида.
1. Пусть 
,
где 
-
некоторое число, не равное нулю. Тогда
если, 
, 
,
то частное решение уравнения ищут в
виде 
,
где 
-
неизвестное число, которое находят,
подставляя 
в
неоднородное уравнение;
если 
,
а
,
то в этом случае частное решение ищут
в виде 
;
наконец,
если и
и 
,
т.е. 
,
то 
.
2. Если
,
где 
–
многочлен степени
,
то
при 
,
решение
ищут, просто «передразнивая» правую
часть, т.е. 
,
как и правая часть, должна представлять
собой произведение многочлена той же
степени, что и в правой части уравнения,
но с неопределенными коэффициентами,
и 
,т.е. 
.
В частности, если 
,
то
;
при
,
частное
решение
ищут
в виде 
;
при
находим
по
формуле 
.
2. Пусть
теперь 
,
т.е. в правой части уравнения находится
многочлен некоторой степени или некоторое
число (если степень многочлена нулевая).
Тогда мы можем воспользоваться формулами,
рассмотренными выше, полагая в них 
.
(Действительно 
и,
очевидно,
).
Таким образом, имеем:
если
,
,
то 
;
если 
,
,
то 
;
если
,
то 
.
Пример
8. Решить
уравнение 
.
Решение. Составим
характеристическое уравнение
соответствующего данному уравнению
однородного уравнения 
: 
.
Корни этого уравнения 
и 
действительны
и различны, поэтому общее решение
соответствующего однородного уравнения
имеет вид 
.
Составим частное решение
неоднородного
уравнения по виду правой части: 
.
Среди корней характеристического
уравнения нет равных числу 
.
Поэтому ищем частное решение
в
виде 
,
где
-
неопределенный коэффициент, который
находим, подставляя
в
исходное уравнение. Найдем 
, 
и
подставим
, 
и 
в
уравнение. Имеем 
.
Далее соберем подобные в левой части
уравнения и разделим обе части уравнения
на 
: 
,
откуда 
.
Подставим найденное
в
.
Тогда 
.
Складывая
общее решение однородного уравнения и
найденное частное решение неоднородного
уравнения, получим
: 
.
Пример
9. Решить
уравнение 
.
Решение. Составим
характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения 
.
Получим квадратное уравнение 
.
Его
корни 
, 
,
так что общее решение однородного
уравнения получим в виде 
.
Правая
часть уравнения 
представляет
собой многочлен нулевой степени или
число, равное трем. В этом случае,
«передразнивая» правую часть, мы должны
и решение
неоднородного
уравнения искать в виде числа. Но среди
корней характеристического уравнения
имеется 
,
поэтому 
.
Найдем
неизвестный коэффициент
,
подставляя
в
уравнение. Для этого найдем
и 
: 
, 
.
Тогда получим 
и 
,
а общее решение неоднородного уравнения
получим, складывая 
и
.
Окончательно 
.
5 – ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ.
6-
7 – ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
Пространство
элементарных событий — множество 
всех
различных исходов случайного
эксперимента.
Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых вконечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
алгебра конечных подмножеств ;
сигма-алгебра счётных подмножеств ;
алгебра подмножеств
,
образованная конечными объединениями интервалов;сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ;
алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.