Пирамидальная сортировка

Пирамидальная сортировка (heapsort) использует специальную структуру, называемую пирамидой (heap), для организации элементов в списке. Пирамиды интересны сами по себе и полезны при реализации приоритетных очередей.

В начале этой главы описываются пирамиды, и объясняется, как вы можете реализовать пирамиды на языке Visual Basic. Затем показано, как использовать пирамиду для построения эффективной приоритетной очереди. Располагая средствами для управления пирамидами и приоритетными очередями, легко реализовать алгоритм пирамидальной сортировки.

Пирамиды

Пирамида (heap) — это полное двоичное дерево, в котором каждый узел не меньше, чем оба его потомка. Это ничего не говорит о взаимосвязи между потомками. Они должны быть меньше родителя, но любой из них может быть больше, чем другой. На рис. 9.6 показана небольшая пирамида.

Поскольку каждый узел не меньше, чем два нижележащих узла, корень дерева — всегда наибольший элемент в пирамиде. Это делает пирамиды удобной структурой данных для реализации приоритетных очередей. Если вам нужен элемент очереди с самым высоким приоритетом, он всегда находится на вершине пирамиды.

Поскольку пирамида является полным двоичным деревом, вы можете использовать методы, изложенные в 6 главе, для сохранения пирамиды в массиве. Поместите корневой узел в 1 позицию массива. Потомки узла I размещаются в позициях 2 * I и 2 * I + 1. Рис. 9.7 показывает пирамиду с рис. 9.6, записанную в виде массива.

Чтобы понять, как устроена пирамида, заметим, что пирамида создана из пирамид меньшего размера. Поддерево, начинающееся с любого узла пирамиды, также является пирамидой. Например, в пирамиде, показанной на рис. 9.8, поддерево с корнем в узле 13 также является пирамидой.

Используя этот факт, можно построить пирамиду снизу вверх. Вначале, разместим элементы в виде дерева, как показано на рис. 9.9. Затем организуем пирамиды из небольших поддеревьев внизу дерева. Поскольку в них всего по три узла, сделать это достаточно просто. Сравним вершину с каждым из потомков. Если один из потомков больше, он меняется местами с родителем. Если оба потомка больше, больший потомок меняется местами с родителем. Этот шаг повторяется до тех пор, пока все поддеревья, имеющие по 3 узла, не будут преобразованы в пирамиды, как показано на рис. 9.10.

Теперь объединим маленькие пирамиды для создания более крупных пирамид. Соединим на рис. 9.10 маленькие пирамиды с вершинами 15 и 5 и элемент, создав пирамиду большего размера. Сравним новую вершину 7 с каждым из потомков. Если один из потомков больше, поменяем его местами с вершиной. В нашем случае 15 больше, чем 7 и 4, поэтому узел 15 меняется местами с узлом 7.

Поскольку правое поддерево, начинающееся с узла 4, не изменялось, это поддерево по‑прежнему является пирамидой. Левое же поддерево изменилось. Чтобы определить, является ли оно все еще пирамидой, сравним его новую вершину 7 с потомками 13 и 12. Поскольку 13 больше, чем 7 и 12, необходимо поменять местами узлы 7 и 13.

Если поддерево выше, можно продолжить перемещение узла 7 вниз по поддереву. В конце концов, либо будет достигнута точка, в которой узел 7 больше обоих своих потомков, либо алгоритм достигнет основания дерева. На рис. 9.11 показано дерево после преобразования этого поддерева в пирамиду.

Продолжим объединение пирамид, образуя пирамиды большего размера до тех пор, пока все элементы не образуют одну большую пирамиду, такую как на рис. 9.6.

Следующий код перемещает элемент из положения List(min) вниз по пирамиде. Если поддеревья ниже List(min) являются пирамидами, то процедура сливает пирамиды, образуя пирамиду большего размера.

Private Sub HeapPushDown(List() s Long, ByVal min As Long, _

ByVal max As Long)

Dim tmp As Long

Dim j As Long

tmp = List(min)

Do

j = 2 * min

If j <= max Then

‘ Разместить в j указатель на большего потомка.

If j < max Then

If List(j + 1) > List(j) Then _

j = j + 1

End If

If List(j) > tmp Then

‘ Потомок больше. Поменять его местами с родителем.

List(min) = List(j)

‘ Перемещение этого потомка вниз.

min = j

Else

‘ Родитель больше. Процедура закончена.

Exit Do

End If

Else

Exit Do

End If

Loop

List(min) = tmp

End Sub

Полный алгоритм, использующий процедуру HeapPushDown для создания пирамиды из дерева элементов, необычайно прост:

Private Sub BuildHeap()

Dim i As Integer

For i = (max + min) \ 2 To min Step -1

HeapPushDown list(), i, max

Next i

End Sub