1.5. Силовые линии электрического поля

Часто в силу тех или иных обстоятельств оказывается удобным задавать электрические поля в пространстве не аналитически с пощью формул, а графи­чески, рисуя карты электрического поля. Такое графическое представление полей удобно проводить, используя силовые линии электрического поля или, как их иначе называют, линии напряженности электрического поля.

Назовем силовой линией электрического поля линию, которая начинается на положительных зарядах и заканчивается на отрицательных. Проходят эти линии так, чтобы касательная, проведенная к этой линии в каждой ее точке, совпала с вектором напряженности электрического поля. Силовые линии электрического поля нигде не пересекаются (только на зарядах), располагаются перпендикулярно к заряженным поверхностям. Их принято проводить так, чтобы по густоте расположения линий можно было судить о величине напряженности поля. Рассмотрим несколько примеров проведения силовых линий. На рис.5 нарисованы силовые линии положительного точечного заряда, а на рис.6 – силовые линии диполя.

Рис. 5.

Рис. 6.

1.6. Поток вектора напряженности электрического поля

Теорема Гаусса

Принцип суперпозиции электрических полей позволяет подсчитать электрическое поле любой системы зарядов. Но есть еще один способ подсчета напряженности электрического поля. Им удобно пользоваться всегда, когда заряды, создающие поле, распределены в пространстве симметрично. Причем вид симметрии может быть любым. Прежде, чем формулировать некий физический закон, позволяющий это сделать, введем некоторую вспомогательную физическую величину, которая называется поток вектора напряженности электрического поля через поверхность. Обозначим этот поток буквой N. Проще всего ввести поток вектора Е для случая однородного электрического поля. Пусть некоторая плоская площадка S находится в однородном электрическом поле. Назовем потоком вектора Е через

п лощадку (рис.7) величину ,

здесь  – угол между нормалью n к нашей

площадке и вектором Е. Поскольку проекция

вектора Е на направление нормали может быть записана как последнее равенство может быть переписано в виде

(1-5)

Попробуем обобщить понятие потока вектора Е на любое, в том числе неод­но­родное, поле. При помещении площадки S в неоднородное поле можно разбить всю эту площадку на маленькие площадки , такие, чтобы в их пределах можно было бы считать поле однородным. Поток вектора Е через такую площадку можно записать , а поток через всю площадку S находится сумми­рованием . Итак,

В каждом случае разбиение S на приходилось бы проводить заново, доби­ва­ясь однородности поля в пределах . Поэтому удобней сразу разбить S на бесконечно малые площадки dS. Поток dN через такую площадку запишется , а поток через S находится, как

(1-6) Интегрирование в формуле (1-6) ведется по всей интересующей нас поверхности S. Это самое общее определение потока Е через поверхность S. Им мы и будем пользоваться в дальнейшем.

+q

r

S

Рис. 8.

Попробуем теперь подсчитать поток вектора Е через сферическую поверхность радиуса r, в центре которой находится точечный заряд q (рис.8). Воспользуемся для подсчета N выражением для напряженности поля точечного заряда (1-3) и определением потока (1-6). Итак, поток вектора Е через сферическую поверхность S можно записать . В этом выражении кружок на интеграле поставлен для обозначения того обстоятельства, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности. Подставим в последнее равенство выражение для напряженности поля точечного заряда и учтем, что силовые линии поля точечного заряда перпендикулярны к сферической поверхности, т.е. направлены вдоль нормали к ней и в силу этого равно модулю Е.

В подынтегральном выражении все сомножители кроме dS остаются на поверхности сферы постоянными и их можно вынести за знак интеграла. Интеграл же по сферической поверхности от ее элемента равен площади этой поверхности. В итоге, можно записать

Оказывается, что этот результат получился не потому, что мы выбрали такую красивую сферическую поверхность. Какой бы замкнутой поверхностью мы не окружали бы этот заряд, поток через нее был бы таким же. Если внутрь этой поверхности попали бы и другие заряды, поток Е был бы пропорционален алгебраической сумме этих зарядов. Все сказанное можно сформулировать в виде теоремы, которую принято называть теоремой Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, окруженных этой поверхностью.

(1-7) Как уже говорилось, эта теорема оказывается очень удобной для подсчета напряженностей полей, созданных зарядами, распределенными в пространстве с той или иной симметрией. Эта теорема отражает одно из очень важных свойств электрических полей и к ней нам придется в дальнейшем обращаться неоднократ­но. В заключение следует сказать, что мы не доказывали строго эту теорему. Доказательство требует громоздких математических выкладок. Мы рассмотрели лишь частный пример и на его основе обобщили результат на общую ситуацию. Однако это ни в коей мере не умаляет важность полученного результата.