Стандартные аксонометрические проекции.

В машиностроении наибольшее распространение получили (см. ГОСТ 2317-69):

1. Прямоугольная изометрия: p=r=q, =90 .

2. Прямоугольная диметрия: p=r, q=0.5p, =90 .

3. Косоугольная фронтальная диметрия: p=r, q=0.5p, <90 .

Прямоугольные аксонометрические проекции.

Для получения наглядного изображения необходимо, чтобы картинная плоскость Q не была параллельна ни одной из ортогональных осей проекций, поэтому плоскость Q пересекает ортогональные оси в точках X,Y,Z. Полученный XYZ называется треугольником следов.

[OO₀] Q; [O₀X], [O₀Y], [O₀Z] - отрезки на аксонометрических осях.

Рис.4

₁, ₁ и ₁ - дополнительные углы

По теореме косинусов:

• cos² ₁+cos² ₁+cos² ₁=1 или

• sin² +sin² +sin² =1

• sin² =1-cos²

• 1-cos² +1-cos² +1-cos² =1, т.е.

• cos² +cos² +cos² =2

Таким образом, из соотношения 1 видно, что: p²+q²+r²=2

Для прямоугольной аксонометрии сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Установим численные значения коэффициентов искажения для прямоугольных изометрии и диметрии.

Для прямоугольной изометрии: p=q=r; 3p²=2; p=q=r==0.82

Для прямоугольной диметрии: p=r; q=0.5p; 2p²+p²/4=2; p==0.94; q=0.47

Определение величин углов между осями стандартных аксонометрических проекций.

Изометрия:

Рассмотрим XO₀O:

• |O₀O|=|OX|sin =|OZ|sin =|OY|sin ; = =

• P=|O₀X|/|OX|; p=q=r; |O₀X|=|O₀Y|=|O₀Z|

Следовательно, для прямоугольной изометрии треугольник следов равносторонний.

Докажем, что аксонометрические оси являются высотами в треугольнике следов.

Введём плоскость S: ([OO₀] S) (S Q); S H; [KO]=S_H; S_H Q_H; [ZK] [XY]

Угол между высотами в равностороннем треугольнике равен 120 . Ось z принято располагать вертикально.

Рис.5

Прямоугольная диметрия:

p=r=2q; [XY] [YZ], следовательно, треугольник следов равнобедренный.

|OZ|=|OX|=1; |XZ|=1.41; |XM|=0.71; |XO₀|=p=0.94

sin( /2)=0.75; =97 10';

tg 7 10'=1/8; tg 41 25'=7/8

Рис.6

3. Прямоугольная аксонометрическая проекция окружности, лежащей в плоскости проекций (вывод).

Прямоугольной аксонометрической проекцией окружности, лежащей в некоторой плоскости общего положения, составляющей , не равный 0 и 90 , с картинной плоскостью Q, будет эллипс.

Большая ось этого эллипса есть проекция того диаметра окружности, который параллелен прямой пересечения плоскости P, в которой лежит окружность, и плоскости Q. Малая ось эллипса расположена перпендикулярно [MN].

[MN]=Q P; Б.О.Э. [MN]; М.О.Э. [MN].

В практике построения аксонометрических проекций деталей машин особенно часто встречаются проекции окружности, лежащей в плоскостях проекций H, V, W или им параллельных.

Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Для его построения необходимо найти оси, т.е. найти их размер и направление.

Рис.7

[AB] [CD]; S Q; [A0B0] h; [C0D0] h; [A0B0]=d; [C0D0]=dcos

Задача свелась к определению cos через соответствующий коэффициент искажения.

Рассмотрим эту же картинку, заданную двумя пересекающимися прямыми (z z₀)

Рис.8

М.О.Э.=|C0D0|=CDsin 0; cos 0=r

Правило: "Окружности, расположенные в плоскостях проекций или им параллельных, проецируются на картинную плоскость в виде эллипса, большая ось которого перпендикулярна к той аксонометрической оси, которая является проекцией ортогональной оси, перпендикулярной плоскости проецируемой окружности, а малая ось эллипса параллельна этой аксонометрической оси."