Розділ 5. Застосування похідної

5.1. Основні теореми диференціального числення

Основні теореми диференціального числення: Ферма, Лагранжа, Роля. Економічна інтерпретація теореми Ферма. Правило Лопіталя та його застосування для розкриття невизначеностей. Основні теореми про зростання та спадання функції. Екстремуми функції. Необхідна умова екстремуму. Перша достатня умова екстремуму. Друга достатня умова екстремуму. Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Опуклість та угнутість графіка функції. Точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків.

Теорема Ферма. Якщо диференційовна на інтервалі функція досягає найбільшого або найменшого значення у внутрішній точці цього інтервалу, то похідна в цій точці дорівнює нулю, тобто .

Д

Рис. 1

оведення. Нехай функція диференційовна на інтервалі і в точці  має мінімальне значення (Рис. 1).

Тоді , якщо +х , а тому при достатньо малих значеннях х не залежно від знака х. Звідси випливає, що при х>0 і при х<0. Переходячи до границі при і , одержимо: , .

Оскільки функція диференційовна на інтервалі , то

.

Аналогічно можна розглянути випадок, коли функція досягає максимального значення в точці  .

Економічна інтерпретація теореми Ферма. Один із базових законів теорії виробництва читається так: оптимальний для виробництва рівень випуску товарів чи продукції визначається рівністю граничних витрат і граничного доходу. Тобто рівень випуску є оптимальним для виробника, якщо , де – граничні витрати, а – маргінальний дохід.

Позначимо функцію прибутку через . Тоді . Очевидно, що оптимальним рівнем виробництва є такий, при яком прибуток максимальний, тобто таке значення випуску , при якому функція має екстремум (максимум). Згідно теореми Ферма в цій точці . Але і тому , тобто .

Іншим важливим поняттям теорії виробництва є рівень найбільш економічного виробництва, при якому середні витрати виробництва товару мінімальні. Відповідний економічний закон читається так: рівень найбільш економічного виробництва визначається рівністю середніх і граничних витрат.

Одержимо цю умову як наслідок теореми Ферма. Як відомо, середні витрати визначаються за формулою , тобто це витрати на виробництво товару розділені на кількість виробленого товару. Мінімум цієї величини досягається в критичній точці функції , тобто при умові , звідки або , тобто .

Т

Рис. 2

еорема Лагранжа (про скінчений приріст функції). Якщо функція неперервна на відрізку і має похідну на інтервалі , то існує хоча би одна точка   така, що виконується рівність

. (1)

Подамо геометричне доведення теореми (Рис. 2).

Проведемо січну АВ до графіка функції і будемо пересувати її паралельно самій собі, аж поки не стане дотичною до графіка. Це обов’язково станеться бо функція має похідну в кожній точці інтервалу .

Тоді з одного боку . З іншого боку . Прирівнюючи праві частини останніх рівностей дістанемо формулу (1).

Теорема Роля (про нулі похідної). Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна на інтервалі , а на його кінцях приймає рівні значення , то похідна дорівнює нулю хоча би в одній внутрішній точці цього інтервалу.

Доведення. З теореми Лагранжа маємо . Але згідно умови теореми . Тому . Оскільки , то .