- •Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы и определители Понятие матрицы
- •Действия над матрицами
- •1) Умножение матрицы на число.
- •2) Сложение матриц.
- •3) Умножение матриц.
- •Свойства действий над матрицами
- •Определители
- •1. Определитель второго порядка.
- •2. Определители третьего порядка.
- •3. Определители более высокого порядка.
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Понятие ранга матрицы
- •Линейная зависимость строк и столбцов матрицы
- •Свойства линейной зависимости
- •Элементарные преобразования матриц и их свойства
- •Упражнения к §1
- •§ 2. Линейные алгебраические системы Общие понятия
- •2. Неоднородные системы. Теорема Крамера
- •Общие линейные системы
- •3. Использование метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.
- •§ 3. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 1. Матрицы и определители ……………………………………………… 3
- •§ 2. Линейные алгебраические системы…………………………………….19
- •§ 3. Собственные числа и собственные векторы матрицы……. ……... ….33
- •Элементы линейной алгебры
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Новгородский государственный университет имени
Ярослава Мудрого
Институт электронных и информационных систем
Элементы линейной алгебры
Методические указания
Великий Новгород
2004
УДК 512.643, 512.644. Печатается по решению
РИС НовГУ
Рецензент
Доктор. Физ. - мат. наук, профессор
Панов Е.Ю.
Элементы линейной алгебры; Метод. указания; / Авт. – сост. О. Н. Барсов; НовГУ им. Ярослава Мудрого – Великий Новгород, 2004 – 43 с.
В пособии разобраны основные понятия и результаты из теории матриц, определителей и линейных систем.
Предназначено для студентов первого курса инженерных специальностей
УДК 512.643, 512.644
Новгородский государственный
университет, 2004
Барсов О.Н.
составление 2004
§ 1. Матрицы и определители Понятие матрицы
Матрицей размерности mn называют прямоугольную таблицу из чисел, которые расположены в m строках и n столбцах
.
Числа, образующие матрицу называются элементами матрицы. Матрицы, у которых число строк равно числу столбцов, называют квадратными, а число строк такой матрицы называют её порядком. Например, матрица является квадратной матрицей второго порядка. Матрицы будем обозначать большими латинскими буквами: A,B,C...
В матрицах общего вида их элементы снабжают двумя индексами и пишут или - элемент матрицы A, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце.
Квадратная матрица порядка n называется единичной, если у неё , а все остальные элементы равны нулю. Обозначается единичная матрица буквой E. Иначе говоря, для всех
i, j = 1, 2, 3, ... , n. Например, единичные матрицы второго и третьего порядков имеют вид , соответственно. Элементы матриц A и B, расположенные в строках и столбцах с одинаковыми номерами называются соответствующими.
Матрицы A и B называют равными, если они имеют одинаковые размерности и все их соответствующие элементы равны, т.е. A = B для всех i =1,2,...,m; j =1,2,...,n.
Действия над матрицами
1) Умножение матрицы на число.
Пусть - число, A - матрица размерности mn. Произведением числа и матрицы A называют матрицу А, определяемую равенствами = , i=1,2,...,m; j=1,2,...,n. Например, 2 = . Иначе говоря, чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.
2) Сложение матриц.
Пусть A, B - матрицы размерности mn. Суммой матриц A и B называется матрица A + B, определяемая равенствами , для всех i =1,2,...,m ; j =1,2,...,n.
Иначе говоря, чтобы сложить две матрицы нужно сложить все соответствующие элементы этих матриц. Например,
+ = .
3) Умножение матриц.
Пусть A -матрица размерности mk, B - матрица размерности kn. Произведением матрицы A на матрицу B называют матрицу AB размерности mn, определяемую равенством . Следовательно, чтобы получить элемент матрицы AB, расположенный в i-той строке и j-том столбце, нужно сложить произведения всех элементов i-той строки на соответствующие элементы j-того столбца. Например,
= = .