Теорема Штейнера

Момент інерції відносно довільної осі визначається рівністю:

J = J₀ + mа²,

де J₀ ⎯ момент інерції даного тіла відносно осі, що проходить через центр мас паралельно заданій осі, а ⎯ відстань між осями, m ⎯ маса тіла.

Між величинами, що характеризують динаміку обертального руху, та величинами, що описують динаміку поступального руху існує аналогія. Відповідна аналогія існує також і між формулами, що описують обертальний та поступальний рухи. Дану аналогію можна представити у вигляд таблиці:

Поступальний рух

Обертальний рух

Основний закон динаміки

F𝛥t = m𝜗2 − m𝜗1 F = ma

M𝛥t = J𝜔1 – J𝜔2 M = J𝛽

Закони збереження

імпульсу = const

моменту імпульсу = const

Робота і потужність

А = F S sin𝛼 N = F𝜗 sin𝛼

А = М 𝜑 N = М 𝜔

Кінетична енергія

Ек =

Ек =

Хід роботи

Приклад. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R = 1,5 м і масою m₁ = 180 кг обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою n = 10хв¹. У центрі платформи стоїть людина масою m₂ = 60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

Розв’язок. Платформа обертається за інерцією. Отже, момент зовнішніх сил відносно осі обертання Z, яка співпадає з геометричною віссю платформи, дорівнює нуля. При цій умові момент імпульсу L_Z системи платформа – людина залишається постійною:

L_Z = J_Z = const, (1)

де J_Z – момент інерції платформи з людиною відносно осі Z;  – кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, які входять до складу системи, тому J_Z = J₁ + J₂, де J₁ – момент інерції платформи; J₂ – момент інерції людини.

З урахуванням цього рівняння (1)

(J₁ + J₂)  = const,

або

(2)

де значення моментів інерції J₁ і J₂ відносяться до початкового стану системи; і - до кінцевого.

Момент інерції платформи відносно осі Z при переході людини не зміниться: Момент інерції людини відносно тієї самої осі буде змінюватись. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то її момент інерції J₂ в початковому положенні (в центрі платформи) можна прирівняти до нуля. В кінцевому положенні (на краю платформи) момент інерції людини Підставимо у формулу (2) знайдені вирази моментів інерції, а також виразимо початкову кутову швидкість  обертання платформи з людиною через частоту обертання n ( = 2n), кінцеву кутову швидкість ^/ – через лінійну швидкість v людини відносно підлоги (^/ = /R):

Після скорочення на R² та простих перетворень знаходимо швидкість:

Враховуючи, що n = 10 хв^-1 = 1/6 с^-1, підставимо числові значення фізичних величин в СІ та проведемо обчислення: