Література

1. Смит Р. Полупроводники. – М.: Мир. – 1982. – 558 с.

2. Вакуленко О.В. Визначення оптичної густини напівпровідників в інфрачервоній області спектра // УФЖ. – 1964. – Т.9, №6. – С.676-680.

3. Александров А.Н., Никитин В.А. О выборе нормалей и методах градуировки призменных инфракрасных спектрометров // УФН. – 1955. – Т.56, вып.1. – С. 3-53.

Лабораторна робота № 2 визначення "термічної" ширини забороненої зони оптичним методом

Мета роботи:

Визначити "термічну" ширину забороненої зони германію і кремнію з температурної залежності коефіцієнта поглинання.

Теоретичні відомості

Напівпровідники – це речовини, що мають при кімнатній температурі питому електричну провідність в інтервалі від 10^–10 до 10⁶ Ом^–1см^–1, яка залежить значною мірою від виду і кількості домішок та структури речовини, а також від зовнішніх умов: температури, освітлення, тиску, електричних і магнітних полів тощо. Напівпровідники, електропровідність яких зумовлена переходами електронів із заповненої (або валентної) зони у вільну зону (зону провідності), звуться власними. У власному напівпровіднику концентрація електронів n у зоні провідності завжди дорівнює концентрації дірок p у валентній зоні. Якщо рухливість електронів і дірок позначити через _n і _p відповідно, то питому провідність власного напівпровідника можна записати так:

 = en_i(_n + _p), (1)

де n_i = n = p, e – заряд електрона.

Температурна залежність концентрації вільних носіїв заряду має такий вигляд:

n_i = AT^3/2exp(–_g/2kT), (2)

де A – стала. Співвідношення (2) дає змогу визначити ширину забороненої зони _g експериментально з залежності n_i від T. Якщо побудувати графічну залежність ln(n_iT^–3/2) від оберненої температури (на практиці беруть 10³/T[K]), то вона виявиться прямою:

ln(n_iT^–3/2) = Const – _g/2kT. (3)

Кут нахилу прямої до осі абсцис визначається шириною забороненої зони _g:

, (3а)

звідки

. (4)

Величина tg визначається за графіком ln(n_iT^–3/2) = f(1/T).

Однак слід пам'ятати, що ширина забороненої зони сама є функцією температури і у більшості випадків збільшується при охолодженні. Фактичну ширина забороненої зони та її залежність від температури можна визначити за допомогою оптичних вимірів, досліджуючи спектр прикрайового поглинання світла. Залежність _g германію і кремнію від абсолютної температури Т в області від 0 до 300 К показана на рис. 1 і 2.

Рис. 1. Температурна залежність ширини забороненої зони германію

Рис. 2. Температурна залежність ширини забороненої зони кремнію

Видно, що при низьких температурах _g наближається до сталого значення, а з ростом температури зменшується за квадратичним законом. При вищих температурах зменшення _g відбувається за лінійним законом. Тут виникає питання, яке саме її значення ми можемо одержати з температурних вимірів n_i. Щоб це з'ясувати, розкладемо залежність ширини забороненої зони від температури в ряд за степенями Т:

_g(Т) = _g(0) + Т + ..., (5)

де _g(0) – фактична ширина забороненої зони при абсолютному нулеві температури. Якщо в цьому розкладі обмежитися тільки лінійним членом, то при підстановці (5) у (2) ми одержимо додатковий сталий множник exp(‑/2k), який можна включити до сталої A = A_Texp(‑/2kT). Отже температурна залежність n_i буде визначатися множником exp(‑_g(0)/kT), так що за графіком залежності ln(n_iT^‑3/2) від 1/T ми знайдемо _g(0).

Якщо ж залежність _g(Т) не можна вважати лінійною, то тоді _g, одержане з температурних вимірів, не буде дорівнювати фактичній ширині забороненої зони при Т = 0. Вона буде дорівнювати _g^*. Цю величину знаходимо екстраполяцією до Т = 0 прямої, котра наближено описує залежність _g від Т в інтервалі досліджуваних температур. Величину _g^* називають термічною шириною забороненої зони. Її значення дещо відрізняється від значення низькотемпературної оптичної (фактичної) _g.

Традиційно _g^* визначається електричними методами – із вимірів залежності власної електропровідності або, коректніше, сталої Холла від температури. Але концентрацію вільних носіїв заряду та її залежність від температури можна контролювати й оптичними методами – за інтенсивністю поглинання світла в інфрачервоній області спектра, при енергіях фотонів ħ < _g. Виявляється, що електрони в зоні провідності чи дірки у валентній зоні можуть поглинати світлову енергію, причому таке поглинання буде пропорційним числу вільних носіїв заряду у зоні.

Коли частота падаючого на зразок випромінювання є недостатньо великою для того, щоб викликати міжзонні переходи чи привести до появи екситонів, то тоді світло може поглинатися кристалом внаслідок збудження коливань кристалічної решітки або внутрізонних електронних переходів. У даному разі нас цікавить другий механізм.

Поглинання світлової енергії вільними носіями у напівпровідниках чутливе до типу розсіяння електронів або дірок. Саме тип розсіяння визначає частотну залежність натурального показника поглинання , зумовленого вільними носіями. Порушувати ідеальність структури ґратки, що призводить до такого поглинання, можуть фонони, домішки та інші дефекти.

Класична теорія поглинання вільними електронами, яка не конкретизує механізму взаємодії носія з кристалічною ґраткою, навіть якісно не пояснює багатьох результатів оптичних вимірів у напівпровідниках. Згідно з цією теорією,   ², що для напівпровідників справджується далеко не завжди.

Квантовомеханічна теорія розглядає досліджуване поглинання як подвійний процес: інтенсивність поглинання визначається, з одного боку, імовірністю взаємодії електрона (дірки) з фотоном, а з іншого – з дефектом ґратки, наприклад, фононом. Натуральний показник поглинання обчислюється у другому наближенні теорії збурень.

У завершеному вигляді квантомеханічна теорія, яка враховує розсіяння носіїв заряду на акустичних коливаннях ґратки напівпровідників з ковалентним типом зв'язку, але нехтує деталями зонної структури, розроблена Шмідтом (1954). Вона відрізняється від попередніх квантових теорій тим, що враховує стимульоване випромінювання, внаслідок чого у виразі для  з'являється додатковий множник (1 – exp[– ħ/kT]). Тобто, більш ранні теорії в області малих частот довали завищені значення .

За теорією Шмідта

, (6)

де е – заряд електрона, с – швидкість світла у вакуумі, m – маса вільного електрона, m^* – ефективна маса носія, ₀ – електрична стала, N – концентрація носіїв, T – температура, n – показник заломлення,  – циклічна частота, K₂ –модифікована функція Бесселя другого роду. У відповідності з формулою (6) при домінуючому розсіянні на акустичних коливаннях ґратки і за умови ħ >> kT справедлива залежність   ^1,5, а при ħ < kT має місце класичний випадок   ².

Якщо всі величини, що входять у співвідношення (6), відомі, то можна обчислити повний натуральний показник поглинання , що складається із показника поглинання вільними електронами _n і показника поглинання дірками _p. Конкретно для чистого кремнію концентрація носіїв і рухливість визначаються за формулами:

, (7)

, (8)

. (9)

При цьому ефективні маси носіїв заряду також трохи зростають з температурою: m^*T^0,4.

Для дослідження теоретичної залежності  від Т формулу (6) перепишемо у наближенні ħ >> kT:

. (10)

Вираз (10) зручно подати у вигляді

  A() T^ exp(‑_g/2kT). (11)

Множник Т^ показує сумарну степеневу залежність  від Т. Що ж до експоненційного множника, то він зумовлює температурну поведінку концентрації носіїв. Оскільки основний внесок у досліджувану функцію (Т) дає експонента, то відповідні експериментальні криві зображують у вигляді графіків ln = f(1/T).

З (11) одержуємо

, (12)

тобто нахил повинен змінюватися з температурою. Внаслідок того, що температурна область є досить вузькою і до того ж доданок Т у кілька разів менший за _g/2k, маємо

. (13)

Оцінивши   2,7 з вищенаведених виразів температурної залежності параметрів, які входять до формули (6), і порівнюючи обчислене за (11) значення (ln)/(1/T) з експериментальним, знаходимо ширину забороненої зони. Отже

, (14)

де  – кут нахилу експериментальної кривої до осі Т^–1 (К^–1), k  8,6210^–5 еВ.

В германії вільні електрони і дірки дають якісно різні оптичні спектри. Як і в кремнії, тут поглинання вільними електронами плавно зростає з довжиною хвилі, тоді як дірки зумовлюють смугасту структуру в інфрачервоній області спектра.

Рис. 3. Зонна схема Ge: 1, 2, 3 – валентні підзони

Спектр поглинання p-Ge налічує три смуги з максимумами при  = 3,4; 4,7 і  20 мкм, поява яких пов'язана зі складною структурою валентної зони (рис. 3). Верхній край її містить дві підзони (1, 2), що дотикаються при . Ці підзони мають майже сферичну симетрію з ефективними масами дірок m₁ = 0,3m i m₂ = 0,04m, де m – маса вільного електрона. На глибині близько 0,26 еВ від головного екстремуму валентної зони розташовується третя сферична підзона з m₃ = 0,07m. Оптичні переходи між підзонами 1–2 і 3 при заборонені правилами відбору. При віддаленні від правило відбору порушується і тому спостерігаються електрично дипольні переходи, для яких натуральні показники поглинання можна записати у такому вигляді:

( > 0), (15)

( > ₀), (16)

( < ₀), (17)

де  – частота в см^–1, ₀ – відстань між підзонами 1–2 і 3 при , n – показник заломлення речовини, m – маса вільного електрона, N – загальна концентрація дірок.

У випадку p-Ge задовільна узгодженість розрахунків з експериментом спостерігається, якщо покласти ₀ = 2400 см^–1 (0,3 еВ), m₁ = 0,3 m, m₂ = 0,04 m, m₃ = 0,1 m. При цьому параметри теорії дорівнюють: А₁₂ = 5,2; А₁₃ = 2,99; А₂₃ = 9,0.

У випадку власної провідності вклад неструктурного поглинання вільними електронами можна не враховувати, оскільки воно порядка на два менше за досліджуване структурне.

Експеримент по визначенню _g зручно проводити для короткохвильової смуги ₁₃, бо вона достатньо широка і внесок від сусідніх смуг в області її максимуму нищівно малий. Температурний хід поглинання чистого Ge в області  = 3,4 мкм описується функцією ₁₃(Т):

. (18)

Отже ln обернено пропорційний температурі. З нахилу прямої ln = f(1/Т) можна визначити термічну ширину забороненої зони Ge:

. (19)

При цьому другий член правої частини формули (19) складає величину 0,12 еВ.