Лекция 2. Интерполирование функций

1. Постановка задачи

Пусть на отрезке [a,b] оси Х заданы (n+1) точка , которые называются узлами интерполяции и заданы значения некоторой функции y=f(x) в этих точках .

a

b

Требуется построить функцию F(x) (интерполирующую функцию), принадлежащую к определенному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x)

Геометрическая интерпретация (см. рис.)

В такой общей постановке задача может не иметь решения (например, 3 точки и прямая линия). Задача имеет единственное решение в классе полиномов степени n и много решений в классе полиномов степени выше n:

- практическое значение задачи интерполяции

- отличие экстраполирования от интерполирования.

Сужаем задачу:

а) в качестве интерполирующей функции примем полином степени n, проходящий через точки ;

б)

2. Конечные разности различных порядков

Пусть y=f(x),

- первая конечная разность функции f(x)

Например,

Пример 1

Пример 2

Для получим таблицу

x	y
x		(e-1)
x+1		(e-1)
x+2		(e-1)
x+3

3. Символ будем рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции f(X) разность

Свойства оператора

а)

б)

в)

г) - по определению

, где Е – символ

4. (4) (последовательные значения)

Последовательные значения f(x) формулой (4) выражаются конечными разностями последовательных порядков функции f в точке x.

5.

(5)

Последовательные разности функции f(x) в точке x формулой (5) выражаются через ее последовательные значения

6. Обобщенной n-степенью числа X с шагом h называют произведение

Если h=0, то обобщенная n – степень равна обычной

Найдем последовательные разности обобщенной степени

конечная разность 1-го порядка

, если m > n

7. Первая интерполяционная формула Ньютона

Дано

Требуется найти полином степени n, для которого

При этом

Ищем полином в виде

=

Отсюда

Пусть ,

тогда 1-ая интерполяционная формула Ньютона

8. Пример

x	y
3,50	33,115	1,698	0,087	0,005
3,55	34,813	1,785	0,092	0,003
3,60	36,598	1,877	0,095	-
3.65	38,475	1,972	-	-
3,70	40,447	-	-	-

Пусть q=0,4, что соответствует x=3,52

x	q
3,52	0,40	33,784	33,79420	33,78376	33,78408