Приближенные методы

Точное решение уравнения Шредингера удается получить для ограниченного числа одно- и двухчастичных систем. Для других случаев используются приближенные методы – теория возмущений и вариационный метод. Возмущением называется малое слагаемое потенциальной энергии, дополнительное к исходному гамильтониану системы, для которого существует аналитическое решение.

Теория возмущений стационарных невырожденных состояний

Возмущение , где – малый безразмерный параметр, является слагаемым потенциальной энергии стационарной системы

,

где – невозмущенная часть. Гамильтониан системы

содержит основную часть , для которой существует аналитическое решение уравнения Шредингера. При система описывается собственными функциями гамильтониана

. (6.1)

Состояния считаем невырожденными, имеющими дискретный спектр и образующими полный базис с условием ортонормированности

. (6.2)

Возмущенные состояния удовлетворяют уравнению

. (6.3)

Получим состояния и их энергии .

Разложение по степеням . Искомые величины разлагаем в ряды по степеням ε и ограничиваемся тремя слагаемыми

,

. (6.4)

Подставляем (6.4) в (6.3)

.

Степень  называется порядком теории возмущений. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ε и получаем для нулевого порядка уравнение (6.1), а для первого и второго порядков:

, (6.5)

. (6.6)

Разложение по невозмущенным состояниям. Используя полноту базиса , разлагаем искомые функции:

, (6.7)

, (6.8)

где знак «'» означает отсутствие в сумме слагаемого , которое учтено в нулевом порядке. Найдем , и , .

Первый порядок теории возмущений. Подставляем (6.7) в (6.5) и учитываем (6.1)

. (6.9)

Для получения уравнения с одной неизвестной проектируем (6.9) на орт , для этого умножаем (6.9) на , интегрируем по объему и учитываем (6.2)

,

. (6.10)

Поправка первого порядка к энергии определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, т. е. равна среднему значению возмущения по невозмущенному состоянию.

Аналогично проектируем (6.9) на орт , где :

.

Обозначая и используя матричный элемент оператора возмущения

, (6.11)

находим

. (6.12)

Отсутствие вырождения обеспечивает конечность . Из (6.4), (6.7) и (6.12) в первом порядке теории возмущений получаем

. (6.13)

Условие применимости решений (6.10) и (6.13) имеет вид

. (6.13а)

Свойства первого порядка теории возмущений:

1. Выражение (6.13) не содержит слагаемых с , поэтому состояния нормированные.

2. Диагональный матричный элемент возмущения дает поправку к энергии и не дает вклада в волновую функцию.

3. Недиагональные матричные элементы не дают вклада в энергию, но определяют поправку к волновой функции.

4. Чем ближе друг к другу уровни невозмущенной системы, тем сильнее изменяется волновая функция.

Второй порядок теории возмущений. Подставляя (6.7), (6.8) в (6.6) и учитывая (6.1), получаем

. (6.14)

Проектируем уравнение на орт , т. е. умножаем (6.14) на , интегрируем по объему и используем (6.2). С учетом (6.11) получаем

.

Используя (6.12) для и , находим

,

, (6.15)

где .

Аналогично проектируем уравнение (6.14) на орт , где :

.

Обозначая и учитывая (6.10), (6.12), находим

. (6.16)

Свойства второго порядка теории возмущений:

1. Для основного состояния из (6.15) с учетом получаем – поправка второго порядка к основному состоянию всегда понижает его энергию.

2. Для двухуровневой системы с учетом из (6.15) получаем

,

. (6.17)

Следовательно, во втором порядке энергия верхнего уровня увеличивается, энергия нижнего уровня уменьшается, – возмущение во втором порядке отталкивает энергетические уровни друг от друга.

3. Чем ближе уровни энергии, тем сильнее реагирует система на возмущение.

ПРИМЕР

На линейный осциллятор действует ангармоническое возмущение . Для основного состояния найти волновую функцию в первом порядке теории возмущений и энергию в двух порядках.

Из (6.11), (6.13), (6.15) и (3.39) получаем

, ,

, .

Используя (3.34)

,

где , находим

.

Учитывая (3.33) в виде , получаем

, .

В результате

, .