Теорема Гаусса

П усть в пространстве имеется электрическое поле. Пусть также имеется некоторая плоская поверхность площадью S (она может быть воображаемой). Площадь в физике может рассматриваться как векторная величина. Площадью можно считать векторную величину, модуль которой равен площади поверхности, а направление совпадает с направлением нормали (перпендикуляра) к поверхности. Потоком вектора напряженности электрического поля через поверхность называется скалярное произведение вектора напряженности электрического поля на вектор площади поверхности:

Здесь α – угол между вектором напряженности поля и перпендикуляром к поверхности. Если электрическое поле неоднородно, а поверхность искривленная, то всю поверхность надо разбить на множество очень маленьких участков таких, что каждый из них можно считать плоским, а поле в его пределах однородным. Далее надо определить поток через каждый такой участок и результаты сложить:

Рассмотрим поток вектора напряженности от точечного заряда. Пусть имеется точечный заряд q и небольшая плоская поверхность площадью S, находящаяся на расстоянии r от заряда. Поток вектора напряженности через поверхность равен (см. рис.):

М ысленно проведем сферическую поверхность радиусом r с центром, совпадающим с точкой нахождения заряда. Пусть часть поверхности этой сферы, обозначенная S₀, является проекцией заданной поверхности на поверхность сферы. Так как рассматриваемая поверхность мала, то ее проекцию на поверхность сферы можно считать практически плоской, и тогда ее площадь равна . Кроме того - телесный угол, под которым заданная поверхность видна из точки нахождения заряда. Тогда поток вектора напряженности через заданную поверхность равен:

Пусть точечный заряд q окружен произвольной замкнутой поверхностью. Полный поток вектора напряженности через эту поверхность равен:

Но полный телесный угол равен . Значит, поток вектора напряженности электрического поля от точечного заряда q через произвольную окружающую его замкнутую поверхность равен

Если внутри замкнутой поверхности находится система зарядов q₁, q₂, q₃, …, то из принципа суперпозиции получаем, что суммарный поток через эту поверхность равен

П усть теперь точечный заряд q находится снаружи от замкнутой поверхности. Проведем малый телесный угол Ω, проходящий сквозь эту поверхность. Полный поток вектора напряженности в пределах этого телесного угла складывается из двух потоков через ближнюю часть поверхности 1 и через дальнюю 2. Но эти два потока по величине одинаковы, а по знаку противоположны, так как через одну часть поверхности вектор напряженности входит в поверхность, а через другую выходит из нее. Значит суммарный поток Ф = 0. В пределах любого другого малого телесного угла, пересекающего данную замкнутую поверхность, полный поток тоже будет равен нулю. Получается, что полный поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность от точечного заряда, находящегося снаружи от этой поверхности равен нулю.

Теперь можно сформулировать теорему Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.