Завдання №6

За допомогою зазначеного методу багатовимірної оптимізації з заданою точністю ps знайти мінімальне значення функції цілі :

1 Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(5;4) ps=0.8 Метод Ейлера : .	11 Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(0;0) ps=0.02 Метод Ейлера : .
2. Метод Ньютона: поч. вектор x0(2;4) ps=0.04 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(4;6) ps=0. 001	12. Метод Ньютона: поч. вектор x0(2;-2) ps=0.3 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(-4;6) ps=0.6
3. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(3;4) ps=0.04 Метод Ейлера: .	13. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(-1;-2) ps=0.1 Метод Ейлера: .
4. Метод Ньютона: поч. вектор x0(2;1) ps=0.02 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(5;4) ps=0.02	14. Метод Ньютона: поч. вектор x0(3;-1) ps=0.3 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(2;5) ps=0.06
5. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(3;0) ps=1.6. Метод Ейлера:	15. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(0;0) ps=0.9. Метод Ейлера: .
6. Метод Ньютона: поч. вектор x0(2;1) ps=0.2 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(7;6) ps=0.02	16. Метод Ньютона: поч. вектор x0(2;1) ps=0.6 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(-3;1) ps=0.5
7. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(0;0) ps=0.5 Метод Ейлера :	17. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(1;1) ps=1.1 Метод Ейлера : .
8. Метод Ньютона: поч. вектор x0(4;3) ps=1 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(6;5) ps=0.3	18. Метод Ньютона: поч. вектор x0(1;1) ps=0.01 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(5;6) ps=0.8
9. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(-1;-1) ps=0.1. Метод Ейлера: .	19. Метод найскорішого спуску: початковий вектор x0(0;0) ps=0.2. Метод Ейлера: .
10. Метод Ньютона: поч. вектор x0(4;2) ps=0.02 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(6;4), ps=0.015	20. Метод Ньютона: поч. вектор x0(2;-2) ps=0.02 Метод покоординатного спуску: початковий вектор x0(-4;3) ps=0.05

Нелінійна багатовимірна умовна оптимізація

ЗАГАЛЬНИЙ ВИГЛЯД ЗАДАЧИ БАГАТОВИМІРНОЇ УМОВНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ:

, , i = 1. .m , де

- функція, для якої необхідно знайти екстремум,

, i=1..m - система умов – обмежень, які в загальному випадку можуть бути як лінійними, так і нелінійними.

Введемо поняття «сідлова точка»:

Сідловою точкою деякої функції називається така точка, у якій функція досягає максимального значення по і мінімального значення по , тобто сідловою називається деяка точка , для яких виконується наступна умова:

;

Теорема Куна-Таккера:

Вектор є оптимальним рішенням нелінійної умовної багатовимірної задачі оптимізації тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що вектор є сідловою точкою функції Лагранжа .

При цьому повинні бути виконані наступні умови Куна-Таккера:

1. ,>0 якщо хi=0; =0 якщо xi>0; i=1. .n;

2. , <0 якщо _j=0; =0 якщо _j>0; j=1. .m

Функція Лагранжа складається по вихідній задачі в такий спосіб: , де _i - це множники Лагранжа.

МЕТОД МНОЖНИКІВ ЛАГРАНЖА

У тому випадку, коли всі умови – обмеження є лінійними рівняннями для рішення задачі умовної оптимізації використовують метод множників Лагранжа. Цей метод складається з двох основних кроків:

1-й крок: перехід від задачі умовної оптимізації до задачі безумовної оптимізації, для цього складається функція Лагранжа.

2-й крок: оптимізація функції Лагранжа. Одержуються сідлові точки функції Лаг-ранжа і визначається значення вектора х - рішення вихідної задачі.

Приклад:

= x₁² + x₂² + 4x₁x₂ – x₁ + 6

-x₁ + x₂ = 1

2x₁ + x₂ = 15

Будуємо функцію Лагранжа:

= x₁² + x₂² + 4x₁x₂ – x₁ + 6+ ₁(1 + x₁ – x₂) + ₂(15 - 2x₁ – x₂)m

Використовуємо метод Ейлера для оптимізації функції Лагранжа. Для цього необхідно побудувати систему часткових похідних функції Лагранжа по змінних x₁, x_2, ₁, ₂ , надати кожній з них нульове значення та розв’язати отриману систему рівнянь. Одержємо сідлову точку функції Лагранжа:

=(16/3; 13/3; 11; 19).

Тоді рішення вихідної задачі: =(16/3; 13/3)

Оскільки матриця Геса залежить тільки від координат вектора , використання критерія Сильвестра не дає інформацію про характер отриманої точки умовного екстремуму. Тому для досліджень необхідно розглянути ще одну точку, що