10.1.3. Импульсная характеристика согласованного фильтра
Поскольку
коэффициент передачи согласованного
фильтра
является функцией, сопряженной по
отношению к спектру сигнала
,
то существует и тесная взаимосвязь
между временными характеристиками
фильтра и сигнала. Для выявления этой
взаимосвязи необходимо найти импульсную
характеристику согласованного фильтра.
Применяя
выражение для связи импульсной
характеристики
с передаточной функцией
и формулу (10.8), получаем
. (10.13)
Учитывая, что
и переходя к новой переменной
,
перепишем выражение (10.13) следующим
образом
. (10.14)
Правая
часть этого выражения есть функция
.
Следовательно, если задан сигнал
,
то импульсная характеристика согласованного
фильтра определяется как функция
, (10.15)
т.е. импульсная характеристика по форме должна совпадать с зеркальным отражением сигнала.
Поскольку
импульсная характеристика физической
цепи не может начинаться при
,
то задержка
в (10.8) не может быть меньше
.
Только при
может быть использована вся энергия
сигнала для создания наибольшего
возможного пика в точке
.
Увеличение
сверх
не влияет на пиковое значение выходного
сигнала, а сдвигает его вправо (в сторону
запаздывания). Кроме того, условие
накладывает на сигнал
требование, чтобы его длительность
была конечна, т.к. только в этом случае
при конечной задержке
можно реализовать пик сигнала. Иными
словами, применение согласованной
фильтрации для максимизации отношения
сигнал/помеха
возможно при импульсном сигнале.
10.1.4. Сигнал на выходе согласованного фильтра
Для определения формы сигнала на выходе согласованного фильтра используем выражение
.
Подставляя в него выражение (10.8), получим
. (10.17)
Выражение
в правой части данного соотношения
представляет собой корреляционную
функцию сигнала с точностью до коэффициента
.
Следовательно, пиковое значение сигнала
.
10.1.5. Сигналы с внутриимпульсной модуляцией. Коды Баркера
Применение согласованного фильтра позволяет сосредоточить на его выходе всю энергию сигнала в момент времени . Благодаря этому возможно создание и применение энергоемких сигналов с большими длительностями и умеренными амплитудами. Однако, если не принять специальных мер, такой сигнал оказывается неэффективным при решении других, кроме обнаружения, задач. Например, в радиолокации увеличение длительности сигнала улучшает разрешающую способность по скорости, но ухудшает разрешающую способность по дальности. Для разрешения этого и других противоречий применяются сигналы с внутриимпульсной модуляцией. Исторически первыми такими сигналами были сигналы с линейной частотной модуляцией, а среди дискретно-кодированных сигналов – коды Баркера.
Всего известно девять последовательностей Баркера. Все они характеризуются одним замечательным свойством – уровень боковых лепестков корреляционной функции не превосходит по модулю единицы. Данное свойство позволяет «сжимать» сигнал на выходе согласованного фильтра до длительности одного кодового интервала. Под кодовым интервалом здесь понимается временной интервал, в течение которого значение сигнала исходного не изменяется. Благодаря этому возможно раздельное восприятие на выходе фильтра даже нескольких перекрывающихся сигналов в случае, если временной интервал между ними составляет не менее одного кодового интервала, т.е. говорят о возможности разрешения сигналов. В табл. 10.1 представлены известные в настоящее время коды Баркера.
Таблица 10.1
|
|
|
2 2 3 4 4 5 7 11 13 |
|
|
,
На рис. 10.1 показаны сигнал Баркера размерностью 5, импульсная характеристика согласованного с ним фильтра и переходная характеристика этого фильтра.
а) |
б) |
в) |
г) |
Рис. 10.1. Сигнал Баркера размерностью 5 (а), импульсная (б) и переходная (в) характеристики согласованного с ним фильтра, сигнал на выходе согласованного фильтра (г)
Выше
было показано, что согласованный фильтр
формирует корреляционную функцию
сигнала. Рассмотрим простой способ
вычисления корреляционной функции
дискретно-кодированного сигнала. Пусть
задан сигнал вида
.
Запишем его в виде вертикального столбца
снизу вверх. Справа в строках будем
записывать произведение каждого элемента
сигнала на число, находящееся в левом
столбце. В каждой последующей строке
сигнал сдвигается вправо на одну позицию.
Результат фильтрации определяется в
результате суммирования отсчетов,
находящихся в одном столбце, и записывается
в последнюю стоку.
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Аналогично можно выполнить расчеты, например, для суммы двух сигналов, сдвинутых относительно друг друга на два кодовых интервала. В первом столбце записан первый сигнал с единичным масштабом, во втором – второй сигнал с масштабом два, в третьем – их сумма. В строках записаны произведения эталонного сигнала на отсчеты суммарного.
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
3 |
3 |
3 |
-3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
-1 |
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
-3 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
-2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
-2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
0 |
7 |
0 |
11 |
0 |
3 |
0 |
2 |
|
|
Видно, что пятый и седьмой отсчеты на выходе фильтра значительно превосходят по величине соседние отсчеты, что позволяет разрешить два сигнала.
Импульсная
характеристика фильтра, согласованного
с кодом Баркера
,
запишется в виде
,
переходная характеристика, как интеграл
от импульсной, имеет вид
.